Ecuación geodésica de la integral de tiempo adecuada

Esto es algo que me ha estado molestando por un tiempo. El procedimiento habitual que he visto es escribir el tiempo adecuado como la integral de línea

$$\tau=\int_\gamma d\tau$$ a lo largo de alguna curva $\gamma$. Esa curva que minimiza esto es una geodésica (asumiendo aquí la conexión Levi-Civita). La definición $d\tau^2=-g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$lleva a $$\frac{d\tau}{d\lambda}=\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}.$$ Entonces, usando la regla estándar para hacer integrales de línea , tenemos $$\int_\gamma d\tau=\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}d\lambda,$$ dónde $\gamma(\lambda_i),\gamma(\lambda_f)$son los puntos inicial y final de la curva. Se puede verificar fácilmente que esto es invariante de parametrización. Es estándar para normalizar. $\gamma$ $$g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\tau}\frac{dx^\nu}{d\tau}=-1.$$ Así parecería que $$\int_\gamma d\tau=\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\mu}{d\lambda}}d\lambda=\int_{\tau_i}^{\tau_f}d\tau=\tau_f-\tau_i.$$ De este modo $\gamma$ni siquiera juega un papel que parece. Así, cuando introducimos una familia de un parámetro $\{\gamma_\varepsilon\}$y tomamos la derivada variacional, obtenemos 0 arbitrariamente. ¿Lo que da? ¿Cómo podemos variar esta integral sin cambiar los límites?