La ecuación geodésica se deriva de la ecuación de Euler-Lagrange, que (según tengo entendido) es una condición necesaria pero no suficiente para garantizar que la geodésica sea un mínimo.
Los libros introductorios de GR que he visto no se preocupan por la suficiencia.
¿Cómo sabemos con certeza que la geodésica es un mínimo y no un máximo o inflexión?
En general, las geodésicas son "puntos estacionarios", lo que significa que satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange apropiadas. Esta condición es más fundamental que ser un mínimo o un máximo o un punto de silla o alguna situación marginal que involucre inflexiones. Siendo un mínimo etc. es una combinación de la condición fundamental especificada por las ecuaciones de Euler-Lagrange; y algún tipo de desigualdad para la matriz de segundas derivadas funcionales.
Geodésicas en espacios con la firma euclidiana positivamente definida, ¡no espaciotiempos! – tenderá a ser mínimos de la longitud adecuada.
En el espacio-tiempo de Minkowski, casi todas las geodésicas temporales son en realidad máximos en lugar de mínimos del tiempo propio medido a lo largo de las geodésicas. Eso es fácil de ver: cualquier otra curva similar al tiempo que conecte los dos puntos finales está más cerca de ser nula (cuyo tiempo propio es cero), por lo que su tiempo propio es más corto que el tiempo a lo largo del camino recto (el gemelo que se queda en casa en la paradoja de los gemelos será mayor). Esto también se generaliza al espacio-tiempo curvo de la firma de Minkowski: uno puede ver que si divide el largo camino curvo en muchas partes porque cada parte sigue de facto las mismas reglas que los caminos en un espacio plano.
Sin embargo, las geodésicas espaciales son puntos de silla. Las perturbaciones de la geodésica en las direcciones transversales espaciales hacen que la longitud adecuada sea más larga, mientras que las perturbaciones de la geodésica en la dirección transversal temporal son más cortas.
Las geodésicas nulas en realidad no se pueden definir de manera única como máximos o mínimos: cualquier curva nula que conecte los mismos dos puntos finales (y hay infinitas) tiene la misma longitud, es decir, cero, mientras que las curvas temporales y espaciales son "más largas". aunque la unidad de longitud difiere por un factor de . En relación con algunas variaciones, las geodésicas nulas probablemente serán inflexiones. En ese caso, las ecuaciones de Euler-Lagrange apropiadas son la única forma sencilla de describir qué tiene de especial una geodésica en relación con las rutas cercanas.
Los párrafos anteriores trataban sobre "mínimos vs máximos vs puntos de silla". Hay una pregunta más, si los puntos estacionarios pueden ser mínimos o máximos globales. Los puntos de silla no pueden ser "globales", por lo que esta posibilidad solo es relevante para las geodésicas temporales. En muchos casos "cerca" de las líneas rectas en espacios planos y situaciones comparables en espacios curvos, la geodésica es un máximo global del tiempo propio a lo largo de la curva. En general, bastantes espacio-tiempos, no se puede decir nada de eso.
Pedro Shor