Atascado después de la derivación de la ecuación geodésica

Question

Atascado después de la derivación de la ecuación geodésica

Física
geodésicas
relatividad general
geometría diferencial
principio variacional

m4r35n357

En el libro "Reflexiones sobre la relatividad" de Kevin Brown, hay un capítulo llamado "Relativamente recto", en el que deriva las ecuaciones geodésicas utilizando la ecuación de Euler. Versión en línea

Justo después de la segunda mención de la ecuación de Euler (alrededor del 80 % menos), se encuentra el siguiente texto: "Por lo tanto, podemos aplicar la ecuación de Euler para dar inmediatamente las ecuaciones de las trayectorias geodésicas en la superficie con la métrica especificada

\frac{\partial F}{\partial X^{σ}} - \frac{d}{d λ} \frac{\partial F}{\partial {\dot{X}}^{σ}}

$\frac{\partial F}{\partial x^\sigma} - \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}^\sigma}$

Para un espacio n-dimensional esto representa n ecuaciones, una para cada una de las coordenadas $x_1, x_2, ..., x_n$ . Alquiler $w = (\frac{ds}{dl})^2 = F^2 = g_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta$ esto se puede escribir como

\frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial X^{σ}} - \frac{d}{d λ} \frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = \frac{d}{d λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} - \frac{\partial w}{\partial X^{σ}} - \frac{1}{2 w} \frac{d w}{d λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = 0

$\frac{\partial w^{1/2}}{\partial x^\sigma} - \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w^{1/2}}{\partial \dot{x}^\sigma} = \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma} - \frac{\partial w}{\partial x^\sigma} - \frac{1}{2w}\frac{dw}{d\lambda} \frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma} = 0$

Obtengo la sustitución de sqrt(w) por F en el LHS, pero no puedo ver cómo obtiene la expresión del medio. He intentado usar las reglas de producto/cadena como es habitual con estas cosas, pero simplemente no puedo ver lo que está haciendo aquí.

Por lo general, puedo seguir el trabajo de Kevin, con un poco de esfuerzo, pero este parece un poco más complicado de lo que estoy acostumbrado. ¿Alguien puede ayudarme a entender el truco?

m4r35n357

Gracias por las ediciones nivag, estaba buscando un látex similar para copiar y editar. . .

Respuestas (1)

Atascado después de la derivación de la ecuación geodésica

Gracias por las ediciones nivag, estaba buscando un látex similar para copiar y editar. . .

MBN · Answer 1

parece correcto Tienes

\frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial X^{σ}} = \frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{\partial w}{\partial X^{σ}}

$\frac{\partial w^{1/2}}{\partial x^\sigma}=\frac1{2\sqrt{w}}\frac{\partial w}{\partial x^\sigma}$

Cambiar el orden de las derivadas en el segundo término

\frac{d}{d λ} \frac{\partial w^{1 / 2}}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{d}{d λ} w^{1 / 2}) = \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{d w}{d λ})

$\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w^{1/2}}{\partial \dot{x}^\sigma}=\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left(\frac{d}{d\lambda} w^{1/2}\right)=\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left( \frac1{2\sqrt{w}}\frac{d w}{d\lambda } \right)$

Regla del producto

\frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} (\frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{d w}{d λ}) = - \frac{1}{4 w \sqrt{w}} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{d w}{d λ} + \frac{1}{2 \sqrt{w}} \frac{\partial}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{d w}{d λ}

$\frac{\partial}{\partial \dot{x}^\sigma}\left( \frac1{2\sqrt{w}}\frac{d w}{d\lambda } \right)=-\frac1{4w\sqrt{w}}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{dw}{d\lambda}+\frac1{2\sqrt{w}}\frac{\partial }{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{dw}{d\lambda}$

Restar, igualar a cero, multiplicar $2\sqrt{w}$ usted obtiene

\frac{\partial w}{\partial X^{σ}} + \frac{1}{2 w} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} \frac{d w}{d λ} - \frac{d}{d λ} \frac{\partial w}{\partial {\dot{X}}^{σ}} = 0

$\frac{\partial w}{\partial x^\sigma}+\frac1{2w}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}\frac{d w}{d\lambda}-\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial w}{\partial \dot{x}^\sigma}=0$

¡Gracias por este MBN! Di el primer paso bien, pero pensándolo bien, no iba a dar el resto del camino a toda prisa;)

Atascado después de la derivación de la ecuación geodésica

m4r35n357

m4r35n357

Respuestas (1)

MBN

m4r35n357

Ecuaciones geodésicas a través del principio variacional

Geodésicas: ¿las más rectas o las más cortas? ¿Cuándo y por qué?

Ecuación geodésica de la integral de tiempo adecuada

¿Cómo sabemos que la geodésica es un mínimo?

De la ecuación de Euler-Lagrange a la ecuación geodésica no afín

¿Geodésicas del principio variacional con respecto a la coordenada?

¿Por qué una geodésica temporal maximiza la longitud del camino?

Ecuación geodésica nula

¿Por qué dos Lagrangianos diferentes para derivar ecuaciones geodésicas?

Interpretación de Coordenadas Normales