Diferentes fórmulas para rotaciones SO(3)SO(3)\rm SO(3)

Tu razonamiento es correcto. Los ángulos de Euler no son las componentes de$\vec{\theta}$. Esto es lo que$\vec{\theta}$es.

Dejar$\vec{\theta}=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)=\theta \hat{n}$. Derivamos la matriz 3x3 (es decir: los elementos del grupo$R(\vec{\theta})$) para rotar un objeto por$\theta$radianes sobre una dirección arbitraria especificada por el vector unitario$\hat{n}$. Esto significa colocar el pulgar de la mano derecha a lo largo del vector unitario$\hat{n}$y gire el objeto empujando con los dedos de la mano derecha a través del ángulo$\theta$. Para mí, esta es una forma mucho más fácil de parametrizar y visualizar una rotación arbitraria que los ángulos de Euler. Aviso$\theta=\sqrt{\theta_1^2+\theta_2^2+\theta_3^2}$.

Como dices en tu pregunta, el elemento de grupo es$R(\vec{\theta})=e^{i\vec{\theta}\cdot \vec{J}}$. Esto rota cualquier objeto que incluya vectores con cualquier número de componentes (por ejemplo, una flecha, una roca, un tensor o partículas con diferentes giros). Queremos rotar un vector de 3 por lo que ponemos en la matriz de representación de 3x3 de cada uno de los 3 generadores$\vec{J}=(J_1,J_2,J_3)$.

$$\begin{align} \Theta & =i\vec{\theta}\cdot \vec{J} \\ & = i\theta_1\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i \\ 0 & -i & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_2\begin{bmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} +i\theta_3\begin{bmatrix} 0 & i & 0 \\ -i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -\theta_3 & \theta_2 \\ \theta_3 & 0 & -\theta_1 \\ -\theta_2 & \theta_1 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{align}$$ Darse cuenta de$[J_1,J_2]=iJ_3$lo cual es correcto para generadores de rotación (= momento angular).

Finalmente ampliamos$e^{\Theta}$en una serie de potencias y multiplicación matricial$\Theta$'s juntos para calcular cada término. Usted encontrará$\Theta^3=-\theta^2\Theta$.

$$\begin{align} R(\Theta) & =e^{\Theta} \\ & =I+\Theta+\dfrac{\Theta^2}{2!}+ \dfrac{\Theta^3}{3!}+ \dfrac{\Theta^4}{4!} +… \\ & =I+\Theta(1-\frac{\theta^2}{3!}+\frac{\theta^4}{5!}-...)+\Theta^2(\frac{1}{2!}-\frac{\theta^2}{4!}+\frac{\theta^4}{6!}-...) \\ \\ R(\Theta) & =I+ \frac{\Theta}{\theta}sin(\theta)+\frac{\Theta^2}{\theta^2}(1-cos(\theta)) \end{align}$$ Este$R(\Theta)$es la matriz para rotar cualquier 3-vector alrededor de un vector unitario arbitrario$\hat{n}$por ángulo$\theta$. Como ejemplo, supongamos$\hat{n}=(0,0,1)$, que es una rotación sobre el eje z por theta. Entonces la ecuación final para$R$produce la matriz de rotación familiar $$R(\Theta) = \begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ Note que mi$sin(\theta)$es el signo opuesto al suyo porque estoy haciendo una transformación activa en el objeto, mientras que su fórmula es para una transformación pasiva en el eje de coordenadas (es decir:$\vec{\theta}_{passive}=-\vec{\theta}_{active}$) .

tome la serie de Taylor para esta matriz de rotación:

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \theta_{{1}} \right) &-\sin \left( \theta_{{1}} \right) \\ 0&\sin \left( \theta_{{1}} \right) &\cos \left( \theta_{{1}} \right) \end {array} \right]$$

tu obtienes

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 1$$

la matriz de rotación$R_x$es también

$$R_x=\text{exp}(i\,\theta_1\tau_1)$$

tomar la serie de Taylor

$$R_x=I_3+x+\frac 12 x\,x+\frac 16 x\,x\,x+\ldots$$

con$x=i\,\theta_1\,\tau_1$

y:

$$\tau_1=-i\,\left[ \begin {array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1 \\ 0&-1&0\end {array} \right]$$

de este modo:

$$R_x(\theta_1)=\left[ \begin {array}{ccc} (1)&0&0\\ 0&(1-{\frac {1 }{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{\theta_{{1}}}^{4}+O \left( { \theta_{{1}}}^{6} \right) )&(-\theta_{{1}}+{\frac {1}{6}}{\theta_{{1}} }^{3}-{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\\ 0&(\theta_{{1}}-{\frac {1}{6}}{\theta_{ {1}}}^{3}+{\frac {1}{120}}{\theta_{{1}}}^{5}+O \left( {\theta_{{1}}}^{ 6} \right) )&(1-{\frac {1}{2}}{\theta_{{1}}}^{2}+{\frac {1}{24}}{ \theta_{{1}}}^{4}+O \left( {\theta_{{1}}}^{6} \right) )\end {array} \right] \tag 2$$

análogo para la matriz de rotación$R_y~$y$R_z$

la matriz de rotación del cuerpo rígido es ahora:

$$R_x(\theta_1)\,R_y(\theta_2)\,R_z(\theta_3)\mapsto \text{e}^{(i\,\theta_1\,\tau_1)}\,\text{e}^{(i\,\theta_2\,\tau_2)}\,\text{e}^{(i\,\theta_3\,\tau_3)}$$

con:

$$\tau_2= -i\,\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}~,\tau_3=-i\,\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$$