¿Es la definición (Kl)mn=ϵlmn(Kl)mn=ϵlmn\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn} para los generadores de SO(3)SO( 3)SO(3) en Misner, Thorne y Wheeler, ¿correcto?

Nota: No creo que esto sea simplemente una cuestión de convención con respecto a lo que se considera un ángulo positivo, la direccionalidad de las coordenadas, ni el orden de la multiplicación de matrices para operaciones vectoriales. Todos estos son estándar en otras partes de MTW.

Mi pregunta: ¿es correcta mi definición modificada? ¿O es correcto lo dado por MTW?

En el ejercicio 9.13 de Gravitation, de Misner, Thorne y Wheeler, la definición de componentes de las matrices generadoras del grupo de rotación se da como$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=\epsilon_{lmn},$dónde$\epsilon_{lmn}$es el símbolo de Levi-Civita. Esto parece ser incorrecto. Propongo que la definición sea$\left(\mathcal{K}_{l}\right)_{mn}=-\epsilon_{lmn}$

A menos que mi mente me esté jugando una mala pasada, la definición dada por MTW da como resultado

$$\mathcal{K}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{K}_{3}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Algo llamado la estructura compleja de$\mathbb{R}^2$se introduce en Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica, tercera edición, de Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon . se define como$\mathcal{J}\left(p_1,p_2\right)=\left(-p_2,p_1\right),$que es una rotación por$\pi/2$. su matriz$\mathcal{J}$y las potencias de números enteros de los mismos son

$$\mathcal{J}=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix};\mathcal{J}^{2}=-\mathcal{I};\mathcal{J}^{3}=-\mathcal{J};\mathcal{J}^{4}=\mathcal{I}=\mathcal{J}^{0}.$$

Levantamiento$e$a una potencia matricial se define como formalmente idéntica a la expansión de la serie de Taylor de$e^{x}.$Entonces, si nuestra matriz es$\theta\mathfrak{m},$dónde$\theta$es un escalar, tenemos

$$e^{\theta\mathfrak{m}}=\theta^{0}\mathfrak{m}^{0}+\theta\mathfrak{m}+\frac{\theta^{2}}{2}\mathfrak{m}^{2}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\mathfrak{m}^{n}.$$

El conocido desarrollo de la serie de Taylor de la función exponencial compleja es

$$e^{\theta\text{i}}=\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right) =\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta$$

Coincidencia de términos vemos que

$$\begin{aligned} e^{\mathcal{J}\theta}&=\mathcal{I}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{J}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}\cos\theta+\mathcal{J}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cos\theta+\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, \end{aligned}$$

que es una rotación en el plano euclidiano por$\theta$.

Como se puede ver en la captura de pantalla a continuación, las submatrices de la$\mathcal{K}_l$formado por filas y columnas distintas de cero, y las potencias de esas submatrices son iguales a la matriz$\pm\mathcal{J},$y sus poderes.

El ejercicio da la definición.

$$\mathcal{R}_{x}\left(\theta\right)\equiv\exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\theta^{n}}{n!}\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{n},$$

y nos pide que mostremos que esta es una matriz de rotación que produce una rotación por$\theta$acerca de$x$-eje. Y de manera similar para el$y$- y$z$-hachas.

Para simplificar las cosas, definimos

$$\mathcal{I}_{1}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Así tenemos

$$\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{0}=\mathcal{I};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{1}=\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{2}=-\mathcal{I}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{3}=-\mathcal{K}_{1};\left(\mathcal{K}_{1}\right)^{4}=\mathcal{I}_{1}.$$

Usando estos para expandir nuestra exponencial da

$$\begin{aligned} \exp\left(\mathcal{K}_{1}\theta\right)&=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\left(1-\frac{\theta^{2}}{2}+\frac{\theta^{4}}{4!}-\dots\right)+\mathcal{K}_{1}\left(\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\dots\right)\\ &=\mathcal{I}-\mathcal{I}_{1}+\mathcal{I}_{1}\cos\theta+\mathcal{K}_{1}\sin\theta\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & 0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}.$$

Pero esto es una rotación sobre el$x$-eje por$-\theta.$Las otras dos matrices también producen rotaciones por$-\theta.$

$$\exp\left(\mathcal{K}_{2}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 0 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\\ \exp\left(\mathcal{K}_{3}\theta\right)=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} .$$