Funciones de onda normalizadas en el espacio de posición y momento

Usando la siguiente expresión para la función delta de Dirac:

$$\delta(k-k')=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(k-k')x}\mathrm{d}x$$

mostrar que si$\Psi(x,t)$se normaliza en el tiempo$t=0$, entonces la función de onda espacial de cantidad de movimiento correspondiente$\Phi(p_x,t)$también se normaliza en el tiempo$t=0$.

Bien.

Por definición de la función de onda espacial de cantidad de movimiento,

$$\Phi(p_x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{\hbar}p_xx}\Psi(x,0)\mathrm{d}x$$ y $$\Phi^*(p_x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{\hbar}p_xx}\Psi^*(x,0)\mathrm{d}x$$

No.

$$\Phi^*(p_x,0)\neq\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{i}{\hbar}p_xx}\Psi^*(x,0)\mathrm{d}x$$

Solo escribe las partes real e imaginaria de la integral anterior y voltea el signo de la imaginaria. Y el$x,$ $dx$y$y,$ $dy$son variables ficticias, son solo el nombre de algo que cambia y, por lo tanto, se pueden llamar cualquier cosa. llama al segundo$dy$en lugar de$dx$para hacer su vida más fácil más adelante. pero mantén el$p_x$como$p_x$ya que eso no es un maniquí. No está cambiando, es el valor fijo en el lado izquierdo en$\Phi^*(p_x,0).$

para comprobar si$\Phi(p_x,0)$está normalizado, nos gustaría comprobar si$\Phi(p_x,0)\Phi^*(x,0)$se integra a$1$sobre todos los valores de$p_x$,

Otro error, este podría ser solo un error tipográfico.

$$=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{2i\frac{p_x}{\hbar}yx}\Psi^*(y,0)\Psi(x,0)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$

También mal, y no solo por errores anteriores que se llevan adelante, sino por un nuevo error.$e^Ae^B=e^{A+B}$y puedes comprobarlo$A,$ $B,$y$A+B$todos tienen las mismas unidades, unidades adimensionales.

No estoy muy seguro de cómo dar el salto y empezar a utilizar algunas propiedades del delta de Dirac.

Después de lograr que se vea exactamente como el delta, puede usar algún cambio de variables para usar la propiedad única del delta.

Calcular$\langle\psi | \psi\rangle$tenemos, usando la expansión de la identidad sobre la base del momento:

$$\langle\psi | \psi\rangle = \int\textrm{d}p\,\langle\psi|p\rangle\langle p|\psi\rangle = \int\textrm{d}p |\psi(p)|^2$$ que se demuestre que es 1. Insertemos la identidad expandida en $x$y $x'$ $$\int\textrm{d}p\,\textrm{d}x\,\textrm{d}x'\,\langle\psi|x\rangle\langle x|p\rangle\langle p|x'\rangle\langle x'|\psi\rangle.$$ Desde $\langle x|p\rangle = \textrm{e}^{-ipx}$tenemos $$\int \textrm{d}x\,\textrm{d}x'\,\langle\psi|x\rangle\langle x'|\psi\rangle\int\textrm{d}p\,\textrm{e}^{-i(x-x')p}$$ integración en $\textrm{d}p$devuelve $\delta(x-x')$y por lo tanto $$\int \textrm{d}x\,\langle\psi|x\rangle\int\textrm{d}x'\langle x'|\psi\rangle\,\delta(x-x')=\int \textrm{d}x\,\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle = 1.$$ Si la función de onda se normaliza sobre la base del momento, también se normaliza sobre la base de la posición y viceversa debido al hecho de que $\langle x|p\rangle$es esencialmente una onda plana que se integra a la $\delta$(y esto se sigue de las relaciones canónicas de conmutación). He asumido que uno puede por todos los medios cambiar integrales dentro y fuera; además, se supone que todos los kets deben mantenerse así en un momento dado $t$.

PD: podría haber olvidado todos los$2\pi$aquí y allá o, como decía mi viejo profesor de mecánica cuántica, hemos puesto$2\pi = 1$.