En el Tractatus , Wittgenstein intenta una solución a la paradoja de Russell.
3.333 Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo funcional ya contiene el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí mismo.
Si, por ejemplo, suponemos que la función F(fx) podría ser su propio argumento, entonces habría una proposición “F(F(fx))”, y en esta la función exterior F y la función interior F deben tener diferentes significados;
porque el interior tiene la forma g(fx), el exterior la forma h(g(fx)).
Común a ambas funciones es sólo la letra “F”, que por sí sola no significa nada. Esto es claro de inmediato, si en lugar de “F(F(u))” escribimos “Existe g : F(gu). gu = Fu”.
Aquí se desvanece la paradoja de Russell .
¿Funciona esto, o está hecho para funcionar? (Asumiendo por supuesto que esta es la misma paradoja que ahora conocemos con el nombre de Russell).
algunas definiciones de la introducción de Russell:
De la introducción de Russell:
una. Una función proposicional es una función cuyos valores son proposiciones; por ejemplo 'x es humano'.
b. Una función de verdad de una proposición p es una proposición que contiene p y tal que su verdad o falsedad depende sólo de la verdad o falsedad de p .
C. Wittgenstein muestra que toda función proposicional es una función de verdad.
Creo que para comprender la "solución" de Wittgenstein, debe tener en cuenta el contexto original (histórico).
Wittgenstein fue alumno y discípulo de Frege y Russell.
Según Frege (ver su respuesta inmediata a la carta de Russell comunicándole el descubrimiento de la Paradoja), la forma de Russell de la Paradoja ( f(f) ) no era reproducible en la lógica de Frege, porque las reglas sintácticas prescriben que el nombre de una función tiene un lugar vacío que puede ser archivado solo por el nombre de un objeto, y las funciones (en la lógica de Frege) no son objetos . Inmediatamente después, Frege pudo reproducir la Paradoja en su propia lógica, con una formulación más "complicada".
Según Whitehead & Russell Principia Mathematica, la solución de las paradojas (incluida la de Russell) fue la teoría de tipos ramificados. Esta teoría estuvo desde el principio sujeta a varias objeciones, incluida una dificultad relacionada con la exposición formal de la teoría misma en PM (PM no tiene una separación clara entre el lenguaje objeto y el metalenguaje, y por lo tanto no hay una demarcación precisa entre el objeto y el metalenguaje). meta-teoría).
Una de las mejoras propuestas por Tractatus sobre la lógica de Frege y Russel es la idea de que la forma lógica no se puede describir: solo se puede mostrar. Una lectura plausible de esta idea es que las reglas sintácticas ya están encerradas en los mismos signos: la posibilidad de juntar diferentes signos por sí misma evita construcciones paradójicas (como f(f) ).
Wittgenstein alude a cómo Russell mismo resolvió la Paradoja: la teoría de los tipos ramificados. A esto alude en:
3.332 Ninguna proposición puede decir nada sobre sí misma, porque el signo proposicional no puede estar contenido en sí mismo (esa es “toda la teoría de los tipos”).
Y reformula como
3.333 Una función no puede ser su propio argumento, porque el signo funcional ya contiene el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí mismo.
Un signo funcional es simplemente el signo de la función; siendo la función lo que significa el signo. Él amplía lo que quiere decir con esto:
Si, por ejemplo, suponemos que la función F(fx) podría ser su propio argumento, entonces habría una proposición “F(F(fx))”, y en esta la función exterior F y la función interior F deben tener diferentes significados;
porque el interior tiene la forma g(fx), el exterior la forma h(g(fx)).
Es decir F (F(fx)) es diferente de F( F (fx)) porque en la expresión significan cosas diferentes, es decir tienen significados diferentes o precisamente funciones; y sólo el signo 'F' es común a ambos, como afirma:
Común a ambas funciones es sólo la letra “F”, que por sí sola no significa nada.
y por
Esto es claro de inmediato, si en lugar de “F(F(u))” escribimos “Existe g : F(gu). gu = Fu”.
Aquí se desvanece la paradoja de Russell .
David H.
Miguel
Mozibur Ullah