¿Cómo resuelve la definición de número de Frege el problema de Julio César?

Aquí hay algo de contexto histórico. En Grundlagen der Arithmetik (1884), Frege introdujo su desafortunado Axioma V, ahora conocido como el axioma de la comprensión ilimitada : cada predicado define una clase de objetos que lo satisfacen, llamada su extensión (la propia formulación de Frege es más técnica). Esto condujo al conjunto de todos los conjuntos y luego a la paradoja de Russell en 1901 (aparentemente descubierta por Zermelo antes que Russell, ver ¿Cómo llegó Russell a la paradoja que demuestra la inconsistencia de la teoría ingenua de conjuntos? ). Pero ya en el momento de escribir Frege ya sabía que no se necesitaba toda la fuerza del Axioma V para sus pruebas, o para derivar las consecuencias filosóficas que quería. Bastó una afirmación más débil, el llamado principio de Hume.(se consideró incluso antes de Hume, pero se adoptó solo después de Cantor, véase Medición del tamaño del infinito de Mancosu ):

El número de Fs es el mismo que el número de Gs cuando hay una correspondencia uno a uno entre las Fs y las Gs.

Por supuesto, era más difícil vender esto como una "ley del pensamiento", y el objetivo del logicismo de Frege era derivar las matemáticas de la lógica, las leyes del pensamiento. Pero incluso después de que Russell señalara el problema con el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, Frege no trató de salvar su sistema cambiando al principio de Hume. Aparentemente, fue disuadido por el "problema de Julio César" presentado como la "tercera duda" en Grundlagen §66:

En la proposición [ “ el número de Fs es el mismo que el número de Gs”] [el número de Fs] juega el papel de un objeto, y nuestra definición nos proporciona un medio para reconocer este objeto como el mismo de nuevo, en en caso de que surja de alguna otra forma, digamos como [el número de Gs]. Pero este medio no sirve para todos los casos. Por ejemplo, no decidirá por nosotros si [Julio César] es lo mismo que [el número cero], si se me permite un ejemplo que parece absurdo. Naturalmente, nadie va a confundir a [Julio César] con [el número cero], pero eso no es gracias a nuestra definición de [número]. Eso no dice nada sobre si la proposición [“el número de Fs es idéntico a q”] debe afirmarse o negarse, excepto en el único caso en que q se da en la forma de [“el número de Gs”].Lo que nos falta es el concepto de [número]; porque si tuviéramos eso, entonces podríamos establecer que, si q no es un [número], nuestra proposición debe ser negada , mientras que si es un [número], nuestra definición original decidirá si debe ser afirmada. o negado. " [la mía en negrita]

Lo que Frege está diciendo aquí es que el mero principio de Hume no nos permite distinguir entre números y no números (como Julio César), porque falta el concepto de número. Necesitamos una definición de números, no solo una regla para establecer su igualdad en un caso especial. El axioma V proporciona tal definición (por ejemplo, el número cero es la extensión de un concepto bajo el cual nada cae, es decir, el conjunto nulo), mientras que el principio de Hume no lo hace. Una buena revisión de temas relacionados es The Julius Caesar Objection de Heck , quien hace un comentario interesante:

"Habiendo dicho todo esto, surge la pregunta de por qué, al recibir la famosa carta de Russell, Frege no simplemente abandonó el Axioma V, instaló el Principio de Hume como un axioma y afirmó haber establecido el logicismo de todos modos. La cuestión no es sólo de interés histórico. Aunque Frege mismo no la adoptó, esta posición ha parecido a algunos una heredera digna del logicismo de Frege: en una versión de ella, se piensa que el Principio de Hume incorpora una explicación del concepto de número, por lo que, aunque no es un principio de la lógica, tal vez tenga una posición epistemológica igualmente privilegiada... La cuestión histórica se vuelve apremiante por el hecho de que, en una carta a Russell, Frege considera explícitamente adoptar el Principio de Hume como un axioma, señalando solo que las "dificultades aquí" no son los mismos que los que plagan el Axioma V."

En pocas palabras, el problema surge de la definición de número de como un concepto de segundo orden (es decir, un cuantificador numérico) en Die Grundlagen der Arithmetik (1884).

Considere, por ejemplo , 0xϕ(x)=df Card[xy] (y ≠ y) [ϕx] , que dice:

Afirmar 0xϕ(x) es decir que los objetos que son ϕ están en correlación uno a uno con los objetos que no son idénticos a sí mismos,

es decir, no hay objetos que sean ϕ .

Aquí hemos definido el concepto de "segundo orden" (un predicado 0x(ξ) de un predicado de primer orden ϕ(x) ). Pero no hemos definido qué es el número 0 .

Con esa definición, ¿cómo podemos responder a la pregunta:

"Una oración de la forma 'El número de F's = q ' es falsa cuando q no es un número"

(donde el ejemplo paradigmático es con Julio César en lugar del "nombre" q ) ?

En el lenguaje "lógicamente perfecto" considerado por Frege, cada término singular ("nombre") debe tener una denotación ( Beduetung ) y cada función debe definirse para cada argumento posible (cada concepto debe estar "definido con precisión").

Por ejemplo, si ' q ' es un término singular, su interpretación semántica debe fijar las condiciones de verdad de ' q = y ' para cualquier objeto y dado .

En el caso del intento de Frege de definir los números cardinales, el problema es que el criterio provisto para ser el número perteneciente al concepto ϕ no determina completamente la Bedeutung de las palabras numéricas, y por lo tanto no justifica el artículo definido 'el '.

La solución fregeana "madura" en Grundgesetze der Arithmetik (1893/1903) se basa en la introducción de cursos de valor ( Wertverläufe ):

La Bedeutung del término singular ' ε´ φ(ε) ' es el curso de valor de la función φ(ξ) ,

lo que descarta que una oración de la forma ' ε´ ϕ(ε) = q ' sea verdadera cuando q no es un supuesto de valor.

Es muy debatido en la literatura si la teoría del curso de valor realmente resuelve el problema de Julio César.

¿Caezar se puede definir como número o no? Como pensó Frege, los números no se pueden aplicar a un mundo incierto. Los números no se conciben a partir de sensaciones. Los números no son nuestros pensamientos porque los pensamientos varían de persona a persona. Por lo tanto no podemos definir a César como número. La pregunta es para Frege, a lo que Caezar le pondremos el número como 1. Todo cambia en el mundo exterior.