Teorema de equivalencia de la matriz S

Primero, el teorema de equivalencia se refiere a elementos de matriz S en lugar de funciones de n puntos fuera de la capa, o su generador$Z[j]$, que por lo general son diferentes. Lo que tiene que estudiar es la fórmula LSZ que da la relación entre los elementos de la matriz S y los valores esperados del producto de campos ordenado en el tiempo (funciones de n puntos fuera de la capa, lo que se obtiene después de tomar derivadas de$Z[j]$y configuración$j=0$). Verá que aunque estos productos ordenados en el tiempo son diferentes, los elementos de la matriz S son iguales simplemente porque los residuos de estos productos en los polos relevantes son "iguales" (son estrictamente iguales si los elementos de la matriz de los campos entre el vacío y estados de una partícula ($\langle p|\phi|0\rangle$) son iguales, si no son iguales, pero ambos son diferentes de cero, uno puede adaptar trivialmente la fórmula LSZ para dar los mismos resultados).

En segundo lugar, la funcional generatriz

$$\begin{equation} Z[j]=\int \mathcal{D}[\phi] \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(x)\phi(x) \}} \end{equation}$$

no es válido para todas las acciones funcionales$S$. Ilustraré esto con un ejemplo de mecánica cuántica: la generalización a la teoría cuántica de campos es trivial. El punto clave es notar que la integral de trayectoria "fundamental" es la integral de trayectoria de espacio de fase o hamiltoniana, es decir, la integral de trayectoria antes de integrar los momentos.

Supongamos una acción$S[q]=\int L (q, \dot q) \, dt=\int {\dot q^2\over 2}-V(q)\, dt$, entonces la generación de funciones de n puntos es:

$$Z[j]\sim\int \mathcal{D}[q] \exp{\{iS(q)+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)q(t) \}}$$

El hamiltoniano que está conectado con la acción anterior es$H(p,q)={p^2\over 2}+V(q)$y la integral de trayectoria espacio-fase es:

$$Z[j]\sim \int \mathcal{D}[q]\mathcal{D}[ p] \exp{\{i\int p\dot q - H(p,q)\;dt+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)q(t) \}}$$ Ahora bien, si se realiza un cambio de coordenadas $q=x+G(x)$en el lagrangiano: $$\tilde L(x,\dot x)=L(x+G(x), \dot x(1+G(x)))={1\over 2}\dot x^2 (1+G'(x))^2-V(x+G(x))$$ el hamiltoniano es: $$\tilde H={\tilde p^2\over 2(1+G'(x))}+V\left( x+G(x)\right)$$ donde esta el impulso $\tilde p={d\tilde L\over d\dot x }=\dot x \; (1+G'(x))^2$. Un cambio de coordenadas implica un cambio en el momento canónico y el hamiltoniano. Y ahora la integral de trayectoria espacio-fase es: $$W[j]\sim \int \mathcal{D}[x]\mathcal{D}[\tilde p] \exp{\{i\int \tilde p\dot x - \tilde H(\tilde p,x)\;dt+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)x(t) \}}\,,$$ como probablemente esperabas. Sin embargo, cuando se integra el impulso, se obtiene la versión langrangiana de la integral de trayectoria: $$W[j]\sim\int \mathcal{D}[x]\;(1+G'(x)) \exp{\{iS[x+G(x)]+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)x(t) \}}$$ dónde $(1+G'(x))$es solo $\det {dq\over dx}$. Por lo tanto, su segunda ecuación es incorrecta (si se supone que el término cinético inicial es el estándar) ya que falta el determinante anterior. Este determinante cancela el determinante en su última ecuación. Sin embargo, $Z[j]\neq W[j]$, ya que cambiando la variable de integración en la primera ecuación de esta respuesta $$Z[j]\sim\int \mathcal{D}[x]\;(1+G'(x)) \exp{\{iS[x+G(x)]+i\int dt\hspace{0.2cm} j(t)(x(t)+G(x)) \}}$$ que no está de acuerdo con $W[j]$debido al término $j(t)(x(t)+G(x))$. De modo que, ambas funciones generadoras de funciones de n puntos son diferentes (pero la diferencia no es el jacobiano), aunque dan los mismos elementos de la matriz S que escribí en el primer párrafo.

Editar: aclararé las preguntas en los comentarios.

Dejar$I=S(\phi)$sea ​​el funcional de acción en forma lagrangiana y supongamos que el funcional generatriz lagrangiano está dado por

$$Z[j]=\int \mathcal{D}[\phi] \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j\phi \}}$$

Obviamente, podemos cambiar la variable de integración$\phi$sin cambiar la integral. De modo que, si$\phi\equiv \chi + G(\chi)$, Se obtiene:

$$Z[j]=\int \mathcal{D}[\chi]\,\det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS(\chi +G(\chi))+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\chi + G(\chi))\}}$$

Si queremos usar este generador funcional en términos de la variable de campo$\chi$, el determinante es crucial. Si hubiéramos comenzado con la acción$S'(\chi)=S(\chi +G(\chi))=I$— sin conocer la existencia de la variable de campo$\phi$—, hubiéramos derivado la siguiente versión lagrangiana de la funcional generatriz:

$$Z'[j]=\int \mathcal{D}[\chi]\,\det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS'(\chi )+i\int d^4x\hspace{0.2cm}j \chi\}}$$ Tenga en cuenta que $Z'[j]\neq Z[j]$(pero $Z[j=0]=Z'[j=0]$) y, por lo tanto, las funciones de n puntos fuera de la capa son diferentes. Si queremos ver si estos funcionales generadores dan lugar a los mismos elementos de la matriz S, podemos, como siempre, realizar un cambio de variable de integración sin cambiar la integral funcional. Hagamos el cambio inverso, es decir, $\chi\equiv\phi+F(\phi)$: $$Z'[j]=\int \mathcal{D}[\phi]\, \det(1+F'(\phi)) \det(1+G'(\chi)) \exp{\{iS'(\phi+F(\phi) )+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\phi + F(\phi))\}}=\int \mathcal{D}[\phi]\, \exp{\{iS(\phi)+i\int d^4x\hspace{0.2cm} j(\phi + F(\phi))\}}$$
De modo que, uno tiene que introducir las funciones de n puntos conectadas con $Z[j]$y $Z'[j]$en la fórmula LSZ y analizar si dan lugar a los mismos elementos de la matriz S, aunque sean funciones de n puntos diferentes.

(Pregunta relacionada: Redefinición de campo escalar y amplitud de dispersión )

yo) ref. 1 nunca menciona explícitamente por nombre los siguientes dos ingredientes en su prueba:

1. El papel fundamental de la fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann (LSZ)

   $$\left[ \prod_{i=1}^n \int \! d^4 x_i e^{ip_i\cdot x_i} \right] \left[ \prod_{j=1}^m \int \! d^4 y_j e^{-ik_j\cdot y_i} \right] \langle \Omega | T\left\{ \phi(x_1)\ldots \phi(x_n)\phi(y_1)\ldots \phi(y_m )\right\}|\Omega \rangle$$ $$~\sim~\left[ \prod_{i=1}^n \frac{i\langle \Omega |\phi(0)|\vec{\bf p}_i\rangle }{p_i^2-m^2+i\epsilon}\right] \left[ \prod_{j=1}^m \frac{i\langle \vec{\bf k}_j |\phi(0)|\Omega\rangle }{k_j^2-m^2+i\epsilon}\right] \langle \vec{\bf p}_1 \ldots \vec{\bf p}_n|S|\vec{\bf k}_1 \ldots \vec{\bf k}_m\rangle$$ $$\tag{A} +\text{non-singular terms}$$ $$\text{for each} \quad p_i^0~\to~ E_{\vec{\bf p}_i} , \quad k_j^0~\to~ E_{\vec{\bf k}_j}, \quad i~\in~\{1, \ldots,n\}, \quad j~\in~\{1, \ldots,m\}.$$ [Aquí, por simplicidad, hemos asumido que el espacio-tiempo es$\mathbb{R}^4$; que las interacciones tienen lugar en una región espaciotemporal compacta; que los estados asintóticos están bien definidos; que solo hay un tipo de campo bosónico escalar$\phi$con masa física$m$.]

2. Esas ecuaciones. (9-102), (9-103), (9-104a) y (9-104b) en la página 447 son solo varias versiones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson (SD) . [Las ecuaciones SD se pueden probar mediante integración por partes o, de manera equivalente, mediante cambios infinitesimales en las variables de integración, en la integral de trayectoria. Este último método se utiliza en la Ref. 1.]

A la mitad de la p. 447, ref. 1 se refiere a una redefinición de campo$\varphi\to \chi$como canónico si

[...] la relación$\varphi\to \chi$puede invertirse (como una serie de potencia formal).

Ciertamente, esta no es una terminología estándar. También es una definición algo sin sentido, ya que cualquier lector habría asumido implícitamente sin que se le dijera que las redefiniciones de campo son invertibles. Nótese en particular que la Ref. 1 no implica una formulación hamiltoniana con la palabra canónica.

II) El Teorema de Equivalencia establece que el$S$-matriz $\langle \vec{\bf p}_1 \ldots \vec{\bf p}_n|S|\vec{\bf k}_1 \ldots \vec{\bf k}_m\rangle$[calculado a través de la fórmula de reducción de LSZ (A)] es invariable bajo redefiniciones/reparametrizaciones de campo local.

En esta respuesta, nos interesará principalmente mostrar el mecanismo principal detrás del teorema de equivalencia al nivel de las funciones de correlación (en lugar de seguir cuidadosamente los pasos de la Ref. 1 al nivel de la función de partición).

En la fórmula LSZ (A), consideremos una redefinición de campo local infinitesimal

$$\tag{B} \phi~ \longrightarrow ~\phi^{\prime}~=~ \phi +\delta \phi$$

sin dependencias espacio-temporales explícitas; es decir, la transformación

$$\tag{C} \delta \phi(x)~=~ f\left(\phi(x), \partial\phi(x), \ldots, \partial^N\phi(x)\right)$$

en el punto del espacio-tiempo$x$depende de los campos (y sus derivados de espacio-tiempo a un orden finito$N$), todos evaluados en el mismo punto del espacio-tiempo$x$. [Si$N=0$, la transformación (C) se llama ultralocal. ]

Ahora se puede argumentar que cerca de los polos de una sola partícula, esto solo conducirá a un cambio de escala multiplicativo en ambos lados de la fórmula LSZ (A) con la misma constante multiplicativa, es decir, la$S$-la matriz es invariante. Este cambio de escala multiplicativo se conoce como renormalización de la función de onda o como renormalización de la intensidad de campo en la Ref. 3.

III) Finalmente, mencionemos que Vilkovisky ideó un enfoque, donde$1$Las funciones de correlación de partículas irreducibles (1PI) son invariantes fuera de la carcasa bajo reparametrizaciones de campo, cf. Árbitro. 4.

Referencias:

1. C. Itzykson y JB. Zuber, QFT, (1985) Sección 9.2, p. 447-448.

2. A. Zee, QFT en pocas palabras, 2ª ed. (2010), Capítulo 1, Apéndice B, pág. 68-69. (Consejo de sombrero: Trimok.)

3. ME Peskin y DV Schroeder, (1995) Introducción a QFT, Sección 7.2.

4. GA Vilkovisky, La Única Acción Efectiva en QFT, Nucl. física B234 (1984) 125.