Función beta del modelo sigma no lineal

Debido a la simetría, los modelos σ 2d, aunque están plagados de una infinidad de contratérminos, se agrupan en unos pocos tensores geométricos restringidos por la simetría; y por lo tanto se limitan a tensores, como el Ricci, y luego subyacen a la función β de la manera convencional: no son millones de acoplamientos los que evolucionan, es solo la geometría y, en variedades de "piones" altamente simétricas, por ¡solo una escala o dos! (Para la hiperesfera, debajo, solo su radio de curvatura: se hincha hasta una planitud que no interactúa, invariancia conforme, con energía. cf. Tong 7.1.2)

Ambos se ilustran en nuestro artículo BCZ 1985 , y especialmente en (2.41-2.49) y en el Apéndice A, destinados a responder solo estas preguntas. Pero es una larga historia, a la que no se le puede hacer justicia en este breve formato.

No obstante, su segunda pregunta tiene una respuesta sencilla, implícita en las notas de Tong y, por supuesto, en la sección 2 del documento citado aquí.

• En ε = d-2 dimensiones, tomando los campos "pion" φ como adimensionales, pero la métrica simple tiene dimensión ε , en un ciclo reescribe tu expresión como $$(G_{\mu\nu}/\alpha')^{(0)}=M^\epsilon ( G_{\mu\nu}/\alpha' -\frac{1}{\epsilon}R^{(1)}_{\mu\nu} ).$$ Pero la métrica simple α' -completa debe ser independiente de la escala RG M ; entonces operando en esta ecuación por$M \frac{d}{dM}$en el polo$\epsilon \to 0$redes $$0= M \frac{d}{dM} \frac{G_{\mu\nu}}{\alpha'} - R^{(1)}_{\mu\nu},$$ donde el superíndice (1) indica el residuo en el polo, y $$M \frac{d}{dM} \frac{G_{\mu\nu}}{\alpha'} = R^{(1)}_{\mu\nu}.$$

Así, en nuestras convenciones escaladas, en una hiperesfera ($R_{\mu\nu}=2 G_{\mu\nu}$) , cuyo inverso al cuadrado del radio, α' , decrece con la escala M , la libertad asintótica se manifiesta:$d\alpha'/d\ln M =-2\alpha' ^2$. Asintóticamente, la esfera se aplana a un plano conformemente invariante.