Fuerzas de Casimir y su propagador de Feynman asociado

Question

Fuerzas de Casimir y su propagador de Feynman asociado

Física
propagador
integral de trayectoria
efecto casimir
teoría cuántica de campos

usuario35952

Esta es una continuación de mi pregunta anterior , en la que comencé un intento de resolver el problema de la Fuerza de Casimir usando integrales de trayectoria. Como una de las respuestas sugiere que resuelva el propagador de Feynman sujeto a las condiciones de contorno $x=0$ y $x=L$ en los límites de placa. La ecuación para el propagador de Feynman es

(◻^{2} + {metro}^{2}) Δ_{F} (X - X^{'}) = - d (X - X^{'})

$(\Box^2+m^2)\Delta_F(x-x') = -\delta(x-x')$

La solución al campo libre es

Δ_{F} (X - X^{'}) = \underset{ϵ \to 0}{límite} \int \frac{d^{4} pag}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i {pag}_{m} (X^{m} - X^{' m})}}{{pag}^{2} - {metro}^{2} + i ϵ}

$\Delta_F(x-x') = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip_{\mu}(x^{\mu}-x'^{\mu})}}{p^2-m^2+i\epsilon}$

¿Cuáles serían las condiciones de contorno que tengo que imponer exactamente?

Imponer una condición de contorno significaría, creo que podríamos tener que introducir una nueva función (no sé si tengo razón, pero supongo que esto es cierto en general para la función de Green)

Δ_{F} (X - X^{'}) \to Δ_{F} (X - X^{'}) + F (X - X^{'})

$\Delta_F(x-x') \rightarrow \Delta_F(x-x') + F(x-x')$

donde $F(x-x')$ es tal que satisface la condición de frontera.

Ahora mi pregunta es en caso de que tenga una condición de contorno (como a continuación), ¿cómo resuelvo la ecuación diferencial para las condiciones de contorno como (tome las placas para estar en $z=0$ y $z=L$ )

Δ_{F} (X - X^{'}) |_{z = 0} = Δ_{F} (X - X^{'}) |_{z = L} = 0

$\Delta_F(x-x')\bigg|_{z=0} = \Delta_F(x-x')\bigg|_{z=L} = 0$

EDICIÓN 1: Se me acaba de ocurrir que podría haber una ruta corta para este problema con algún razonamiento conceptual, lo intenté...

Teniendo en cuenta la región entre las placas, sé que el momento está cuantificado en la dirección z, por lo que tengo (que es cierto sentido impuesto por las condiciones de contorno)

{pag}_{z} = \frac{norte π}{L}

$p_z = \frac{n\pi}{L}$ Ahora usando el propagador de Feynman en la representación del momento, que es

{\tilde{Δ}}_{F} (pag) = \frac{1}{({pag}^{0})^{2} - ({pag}^{2} + {metro}^{2}) + i ϵ}

$\widetilde\Delta_F(p) = \frac{1}{(p^0)^2-(\textbf p^2+m^2)+i\epsilon}$

En esto puedo sustituir, $p_z$ , que me dará

{\tilde{Δ}}_{F} (pag) = \frac{1}{({pag}^{0})^{2} - ({pag}_{X}^{2} + {pag}_{y}^{2} + (\frac{norte π}{L})^{2}) + {metro}^{2}) + i ϵ}

$\widetilde\Delta_F(p) = \frac{1}{(p^0)^2-(p_x^2+p_y^2+\Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2)+m^2)+i\epsilon}$

Ahora puedo volver a la representación de posición, pero con integral en $p_z$ reemplazada por una suma sobre $n$ . ¿Hago bien en hacer este procedimiento?

EDIT 2: siguiendo el procedimiento que he mencionado, para un caso simple (1+1) del propagador de Feynman en representación de posición, tengo

Δ_{F} (X - X^{'}) = \sum_{norte = 1}^{\infty} \int \frac{d {pag}_{0}}{(2 π)^{2}} \frac{{mi}^{i {pag}_{0} (X^{0} - X^{' 0})} {mi}^{i \frac{norte π}{L} (z - z^{'})}}{({pag}^{0})^{2} - ((\frac{norte π}{L})^{2} + {metro}^{2})}

$\Delta_F(x-x') = \sum_{n=1}^\infty\int\frac{dp_0}{(2\pi)^2}\frac{e^{ip_0(x^0-x'^0)}e^{i\frac{n\pi}{L}(z-z')}}{(p^0)^2-\big(\big(\frac{n\pi}{L}\big)^2+m^2\big)}$

EDITAR 3:

Tr registro Δ = - \sum_{norte} \int d {pag}_{0} registro ({pag}_{0}^{2} - (\frac{norte π}{L})^{2} + {metro}^{2})

$\text{Tr}\log{\Delta} = - \sum_n \int dp_0 \log{\bigg(p_0^2 - \bigg(\frac{n\pi}{L}\bigg)^2 + m^2\bigg)}$

Pero este término parece divergir, ¿cómo se obtiene un corte en el contexto de este problema? (Un límite para $p_0$ supongo que también se necesita integral).

Adán

Creo que estás en el camino correcto. Ahora tienes que calcular la energía del vacío con este propagador.

usuario35952

@Adam: En ese caso, la energía del vacío se puede calcular a partir del término de primer orden en

Z [J]

$Z[J]$ , que está dada por

(i \int d^{4} X d^{4} X^{'} j (X^{'}) Δ_{F} (X - X^{'}) j (X)) (1)

$\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1)$ con las fuentes siendo reemplazadas como funciones delta?

Adán

No. La energía del vacío viene dada por

\frac{1}{2} T r \log Δ

$\frac{1}{2}Tr\log\Delta$ . Esto se puede calcular derivando con respecto a

m^{2}

$m^2$ , haciendo la integral sobre momentos, integrando con respecto a

m^{2}

$m^2$ (con la condición de contorno de que la integral se anula para

m^{2} \to \infty

$m^2\to\infty$ ).

usuario35952

Entonces, ¿qué pasa con el caso del campo escalar sin masa?

Adán

Entonces el cálculo debería ser más o menos el mismo que el de los fotones.

usuario35952

Lo siento, todavía no he trabajado con campos vectoriales. No tengo idea de cómo seguir con esto

Adán

Si haces el cálculo con finito

m

$m$ , entonces usted puede obtener el caso

m = 0

$m=0$ .

usuario35952

Pero ¿qué pasa con la dependencia del espacio de

Δ_{F}

$\Delta_F$ , parece que no será eliminado. Pero la energía del vacío es independiente del espacio, ¿verdad? Lo siento, tampoco soy capaz de entender por qué esta diferenciación por

m^{2}

$m^2$ y luego poner una condición de contorno. Gracias por sus respuestas :)

Adán

La traza es independiente de la base (posición o momento). Es más sencillo hacerlo en el espacio de cantidad de movimiento. Simplemente haga este cálculo de registro de seguimiento de la manera que desee.

Respuestas (2)

Fuerzas de Casimir y su propagador de Feynman asociado

Creo que estás en el camino correcto. Ahora tienes que calcular la energía del vacío con este propagador.
@Adam: En ese caso, la energía del vacío se puede calcular a partir del término de primer orden en $Z[J]$ , que está dada por $(i \int d^{4} X d^{4} X^{'} j (X^{'}) Δ_{F} (X - X^{'}) j (X)) (1)$ $\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1)$ con las fuentes siendo reemplazadas como funciones delta?
No. La energía del vacío viene dada por $\frac{1}{2}Tr\log\Delta$ . Esto se puede calcular derivando con respecto a $m^2$ , haciendo la integral sobre momentos, integrando con respecto a $m^2$ (con la condición de contorno de que la integral se anula para $m^2\to\infty$ ).
Entonces, ¿qué pasa con el caso del campo escalar sin masa?
Entonces el cálculo debería ser más o menos el mismo que el de los fotones.
Lo siento, todavía no he trabajado con campos vectoriales. No tengo idea de cómo seguir con esto
Si haces el cálculo con finito $m$ , entonces usted puede obtener el caso $m=0$ .
Pero ¿qué pasa con la dependencia del espacio de $\Delta_F$ , parece que no será eliminado. Pero la energía del vacío es independiente del espacio, ¿verdad? Lo siento, tampoco soy capaz de entender por qué esta diferenciación por $m^2$ y luego poner una condición de contorno. Gracias por sus respuestas :)
La traza es independiente de la base (posición o momento). Es más sencillo hacerlo en el espacio de cantidad de movimiento. Simplemente haga este cálculo de registro de seguimiento de la manera que desee.

Quan Le Thien Minh · Answer 1

De su edición 3, creo que lo que necesita entonces es hacer la resta de la energía libre sin las placas, a saber

Tr Iniciar sesión Δ - Tr Iniciar sesión Δ_{F r mi mi}

$\text{Tr} \log \Delta - \text{Tr} \log \Delta_{free}$

Esta diferencia debería producir una respuesta finita. El significado físico es claro: la energía almacenada en el vacío es obviamente divergente debido a la $\frac{1}{2}\hbar \omega$ término en la energía de punto cero desde el enfoque canónico. Lo que es observable es el cambio en la energía del vacío debido a la interacción, que en su formalismo está representado por la condición límite.

Omar Azoz · Answer 2

Simplemente puede calcular la modificación en el propagador debido a las fuerzas de casimir mediante la evaluación del diagrama de Feynman de un bucle o en cualquier orden simplemente colocando las fuentes de corriente apropiadas. Se cree que Casimir fuerza los resultados debido a la creación y aniquilación virtual de partículas virtuales en el propagador de fotones.

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