Cálculo de Tr[logΔF]Tr[log⁡ΔF]\mathrm{Tr}[\log \Delta_F]

$\DeclareMathOperator\Tr{Tr}$Por lo que he leído de su publicación original, parece que está tratando de calcular la fuerza de Casimir a partir de la energía del vacío. Recordar la relación entre la integral de trayectoria y la energía del vacío.

$$\int e^{-S[\phi]}{\cal D}\phi = e^{-\beta E_0}$$ en el limite $\beta\rightarrow\infty$, donde he ido al espacio euclidiano. Para una teoría escalar libre en (1 + 1) dimensiones, para el efecto Casimir, tenemos que imponer condiciones de contorno de Dirichlet en la dimensión espacial. Explícitamente, tenemos que hacer la integral $$\int\exp{\bigg(-\frac{1}{2}\int\phi(x)(-\partial^2 + m^2)\phi(x)d^2x\bigg)}{\cal D}\phi$$ Esta es una integral gaussiana fácil, dada por $$\frac{1}{\sqrt{\det(-\partial^2 +m^2)}} = e^{-\frac{1}{2}\Tr\log(-\partial^2 +m^2)}$$ Calcular $\Tr\log(-\partial^2 + m^2)$, es más fácil sumar sobre los estados de impulso (recuerde que obtenemos un factor de $\beta$para asegurarnos de que estamos contando los estados con el peso correcto) $$\beta\sum_{n=1}^{\infty}\int\log\bigg((p^0)^2+\Big(\frac{\pi n}{L}\Big)^2+m^2\bigg)\frac{dp^0}{2\pi}$$ Descomponiendo el registro y enviando la suma como un producto, obtenemos $$\beta\int\log\bigg(\prod_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{\pi n}{L}\Big)^2\bigg)\frac{dp^0}{2\pi}+\beta\int\log\bigg(\prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1+\bigg(\frac{L\sqrt{(p^0)^2+m^2}}{\pi n}\bigg)^2\bigg)\bigg)\frac{dp^0}{2\pi}$$ El último término es un producto convergente (seno hiperbólico), solo necesitamos regular el segundo término. El mejor método para esto es la regularización de la función Zeta, que describiré brevemente. Si tenemos un producto de la forma $\prod_{n}a_{n}$, podemos formar la función Zeta asociada $\zeta_{A}(s)=\sum_{n}a_{n}^{-s}$. Simplemente tome la derivada y haga una línea de álgebra para mostrar que $\prod_{n}a_{n} = e^{-\zeta_{A}'(0)}$. La idea básica del regulador es que, si bien el producto puede divergir, la función Zeta puede tener una continuación analítica para $s=0$que da un valor finito. Para $a_{n}=(\pi n/L)^2$, obtenemos $$\zeta_{A}(s)= \bigg(\frac{L}{\pi}\bigg)^{2s}\zeta(2s)$$ donde un Zeta sin subíndice es solo la función Riemann Zeta. Tomando la derivada y exponenciando, el regulador nos da $\prod_{n=1}^{\infty}a_{n}=2L$. Poniendo todo junto, obtenemos $$\Tr\log(-\partial^2+m^2)=\beta\int\log\bigg(2\sinh\bigg(L\sqrt{(p^0)^2+m^2}\bigg)\frac{dp^0}{2\pi}$$ más algunos $L$constante independiente que no nos importa. Debería poder calcular la energía del estado fundamental y luego la fuerza de Casimir mediante la diferenciación, a partir de la comparación con la integral de trayectoria. ¡Espero que esto haya ayudado!

Editar: mi argumento original era un poco descuidado, así que lo limpié. Además, tendrá que hacer un truco en el que introduzca una tercera placa para evitar que las infinitas contribuciones del estado fundamental de los osciladores de campo hagan que la fuerza sea infinita. Para obtener más información, consulte QFT de Zee en pocas palabras, Sección 1.9.

Como desea extraer la fuerza de Casimir, simplemente tome (menos) la derivada wrt a L de su expresión en el espacio de momento, el resultado es finito. Este es en realidad un mecanismo general para regularizar la teoría tomando derivados de algunos parámetros que reducen el grado de divergencia. Puede volver a integrar después de haber llegado a la expresión finita.

Por cierto, no creo que su propagador sea correcto ya que depende solo de la diferencia x−x′ mientras que tiene dos límites que rompen las traducciones, por lo que debería ser una función separada de x y x′ – TwoBs Hace 16 horas