Fuerzas de Casimir debidas al campo escalar utilizando integrales de trayectoria

Question

Fuerzas de Casimir debidas al campo escalar utilizando integrales de trayectoria

Física
integral de trayectoria
efecto casimir
teoría cuántica de campos

usuario35952

Acabo de empezar a aprender QFT. Acabo de completar los campos escalares, que aprendí usando la cuantificación canónica y las integrales de ruta. Hice el cálculo de la fuerza de Casimir entre dos placas de metal usando solo la teoría del campo escalar libre (usando la energía del vacío). Sin embargo, no puedo encontrar una manera de hacer esto usando propagadores e integrales de ruta. La función de partición para el caso de campo escalar libre (es decir, campo KG) resulta ser,

Z [j] = Exp (i \int d^{4} X d^{4} X^{'} j (X^{'}) Δ_{F} (X - X^{'}) j (X)) (1)

$Z[J] = \text{exp}\bigg(i\int \mathrm d^4x \;\mathrm d^4x'J(x')\Delta_F(x-x') J(x) \bigg) \qquad \qquad (1)$

que después de establecer el $Z[J=0] =1$ . Deseo saber cómo abordar mi problema desde aquí.

PD: todavía no he aprendido los campos vectoriales o espinores. La mayoría de las referencias o notas que revisé asumieron un conocimiento previo de eso o no decían cómo cuantificar campos escalares.

EDITAR: Esta es la integral para comenzar con la derecha

Z [j] = \frac{1}{Z_{0}} \int [d ϕ] Exp (- i \int d^{4} X [\frac{1}{2} ϕ (◻ + {metro}^{2} - i ϵ) ϕ - ϕ j])

$Z[J] = \frac{1}{Z_0} \int [d \phi] \text{exp}\bigg(-i\int d^4x \bigg[ \frac{1}{2}\phi (\Box + m^2 - i\epsilon)\phi - \phi J\bigg]\bigg)$

Todo lo que hice fue presentar $\phi \rightarrow \phi + \phi_0$ y exigir que

(◻ + {metro}^{2} - i ϵ) ϕ_{0} = j (X)

$(\Box + m^2 - i\epsilon)\phi_0 = J(x)$ y

Δ_{F} (x - x^{'})

$\Delta_F(x-x')$ es la función de Green involucrada en la resolución de esta ecuación.

Entonces obtengo la ecuación (1).

Adán

Esta no es la función de partición del campo libre. Cuando el campo escalar se integra, es una contribución

{(det Δ_{F})}^{- 1 / 2}

$\left(\det\Delta_F\right)^{-1/2}$ , que corresponderá a la energía del vacío. Si uno solo está interesado en la función de correlación, puede olvidarse de ella (no contribuye), pero aquí es importante mantenerla.

usuario35952

@Adam: Sería muy útil si pudiera decirme cómo se integra uno

ϕ

$\phi$ , He agregado alguna edición en ese sentido (espero).

Adán

Primero, no hay

Z_{0}

$Z_0$ en tu nueva ecuación. En segundo lugar, para hacer la integral funcional, piense en ella como una integral gaussiana, donde el propagador inverso es una "matriz funcional". Por transformada de Fourier se obtiene una matriz diagonal

p^{2} + m^{2}

$p^2+m^2$ , y puedes realizar la integral de trayectoria, que da

{(Π_{p} (p^{2} + m^{2}))}^{- 1 / 2}

$\left(\Pi_p (p^2+m^2)\right)^{-1/2}$ . Eche un vistazo a cualquier buen libro de texto, por ejemplo, el libro de Zinn-Justin.

usuario35952

@Adam: Pero como dije, he incluido

Z_{0}

$Z_0$ asegurarse

Z [J = 0] = 1

$Z[J=0]=1$ . Una opción de normalización

Adán

Sí, pero al hacerlo, está perdiendo información, que se incluye en

Z_{0}

$Z_0$ . (Lo que quiero decir es que su

Z [J]

$Z[J]$ ya no es la función de partición, es "solo" una función generadora).

usuario35952

@Adam: Mi error, de hecho, es "solo" el funcional de generación . Con esto, ¿cómo hago ahora para calcular las fuerzas?

Adán

Realmente no lo sé (o habría escrito una respuesta). Supongo que sería calcular el determinante (que corresponde a la energía del vacío) teniendo en cuenta las condiciones de contorno (el hecho de que hay un "adentro" y un "afuera" definidos por las placas). Otra posibilidad sería calcular el registro de

Z [J]

$Z[J]$ (sin olvidar

Z_{0}

$Z_0$ ), para algunas fuentes desempeñando el papel de las placas.

Respuestas (1)

Fuerzas de Casimir debidas al campo escalar utilizando integrales de trayectoria

Esta no es la función de partición del campo libre. Cuando el campo escalar se integra, es una contribución $\left(\det\Delta_F\right)^{-1/2}$ , que corresponderá a la energía del vacío. Si uno solo está interesado en la función de correlación, puede olvidarse de ella (no contribuye), pero aquí es importante mantenerla.
@Adam: Sería muy útil si pudiera decirme cómo se integra uno $\phi$ , He agregado alguna edición en ese sentido (espero).
Primero, no hay $Z_0$ en tu nueva ecuación. En segundo lugar, para hacer la integral funcional, piense en ella como una integral gaussiana, donde el propagador inverso es una "matriz funcional". Por transformada de Fourier se obtiene una matriz diagonal $p^2+m^2$ , y puedes realizar la integral de trayectoria, que da $\left(\Pi_p (p^2+m^2)\right)^{-1/2}$ . Eche un vistazo a cualquier buen libro de texto, por ejemplo, el libro de Zinn-Justin.
@Adam: Pero como dije, he incluido $Z_0$ asegurarse $Z[J=0]=1$ . Una opción de normalización
Sí, pero al hacerlo, está perdiendo información, que se incluye en $Z_0$ . (Lo que quiero decir es que su $Z[J]$ ya no es la función de partición, es "solo" una función generadora).
@Adam: Mi error, de hecho, es "solo" el funcional de generación . Con esto, ¿cómo hago ahora para calcular las fuerzas?
Realmente no lo sé (o habría escrito una respuesta). Supongo que sería calcular el determinante (que corresponde a la energía del vacío) teniendo en cuenta las condiciones de contorno (el hecho de que hay un "adentro" y un "afuera" definidos por las placas). Otra posibilidad sería calcular el registro de $Z[J]$ (sin olvidar $Z_0$ ), para algunas fuentes desempeñando el papel de las placas.

DosBs · Answer 1

Lo que haría es calcular la acción efectiva al integrar en un bucle el propagador en un espacio con límites. El resultado es bastante simple, esquemáticamente de la forma $\mathrm{Tr}\log \Delta$ dónde $\Delta(x_1,x_2)$ es el propagador en el espacio de posiciones. En efecto, la acción libre es cuadrática en el campo, $S\sim -\frac{1}{2}\phi(\partial^2-m^2)\phi$ , lo que hace que la integral de trayectoria sea gaussiana y, por lo tanto, explícitamente calculable. Desde $\Delta$ dependerá de la geometría de su espacio, digamos la distancia $L$ entre dos planos paralelos, obtendrá que la energía del vacío también depende de tal separación. Tomando menos la derivada wrt L da la fuerza. Por supuesto, debe haber calculado cuál es el propagador en un espacio tan no trivial, resolviendo, por ejemplo, las ecuaciones de Klein-Gordon con condiciones de contorno en $y=L$ y $y=0$ , $y$ siendo las coordenadas ortogonales a las placas. Este no es el propagador habitual de Feynman debido a las condiciones de contorno no triviales (lejos del límite, debe recuperar a Feynman). Tenga en cuenta también que la acción efectiva será UV divergente (por lo tanto, deberá regularizar la traza anterior) pero su derivado $L$ , la fuerza, es finita y calculable.

Realmente aprecio tu respuesta, pero desearía que fuera más clara. No entiendo qué significa esto de "límites en un bucle". No he hecho ningún cálculo previo sobre las fuerzas de Casimir, por lo tanto, algunos detalles explícitos serían útiles. Muchas gracias
He añadido algunos comentarios adicionales. Lo que quise decir es que el cálculo está en un bucle en un espacio de tiempo que tiene límites. Lo que debe hacer es calcular el propagador en dicho espacio, luego integrar la acción en $d\phi$ para llegar al resultado, eso es todo.
Quieres decir que tengo que resolver la ecuación $(◻^{2} + {metro}^{2}) Δ (X - y) = - d (X - y)$ $(\Box^2 + m^2) \Delta(x-y) = -\delta(x-y)$ sujeto a la condición de contorno $y = 0, y =L$ ¿O implica que tomo el propagador de Feynman regular e impongo las condiciones de contorno a la solución no homogénea?
Sí, debes resolver esa ecuación que has escrito explícitamente excepto que $\Delta$ en realidad es una función de $x$ y $y$ por separado ya que las traducciones se rompen genéricamente por la presencia del límite. En particular, deberá imponer las condiciones de contorno en ambas variables.
Por favor revise esta pregunta , mi intento de tal solución. Aunque he usado un procedimiento ligeramente diferente allí.
+1, aceptaré tu respuesta, ya que me ha mostrado alguna dirección a la que ir :) ¡Gracias!

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