Fuerza sobre una carga puntual qqq dentro de una cavidad en un conductor sin carga

No, su razonamiento es incorrecto, porque no hay razón para que las fuerzas se cancelen en general. En realidad, la carga en general será atraída por el campo de la carga opuesta inducida en la superficie interior del conductor. Esto es fácil de ver por el hecho de que$\nabla^2 V=0$en la región desprovista de cargas implica que$V$es una función armónica, por lo tanto tiene extremos en el límite solamente. Esto implica que es imposible tener un equilibrio estable en ausencia de cargas en configuración electrostática (teorema de Earnshaw). Supongamos que la carga está en equilibrio, es decir, la fuerza electrostática sobre ella debida a las cargas inducidas desaparece. Dado que la capa conductora tiene una forma arbitraria, se nos permite deformarla ligeramente, por lo que la posición de equilibrio cambiará y la nueva configuración de cargas inducidas ejercerá una fuerza que es atractiva para el conductor, porque el teorema implica que el potencial tiende a empujar la carga lejos de su posición. De manera equivalente, podemos mover la partícula ligeramente, lo que tiene el mismo efecto, ya que se plantea el problema.

Esto es fácil de ver con un ejemplo concreto. El más simple que pude encontrar es el conductor de capa esférica con una carga en su interior. Es fácil encontrar el potencial de las cargas inducidas con el método de las imágenes y siempre es atractivo.

Además, si tuviéramos una capa de masa esférica, entonces dentro de ella$\vec{g} =\vec{0}$, por la simetría del problema y la ley de Gauss. En este caso, sin embargo, una partícula en su interior no sentirá ninguna fuerza porque el campo es fijo.

La fuerza sobre la carga$q$viene dada por el campo electrico$\mathbf E_m = -\nabla \phi_m$de cargas de la coraza de metal que lo rodea. Este campo no desaparece dentro del metal, porque el campo total$\mathbf E_m + \mathbf E_q$hace. De ello se deduce que el potencial de las cargas metálicas$\phi_m$no es constante en todo el metal y su superficie interna no es necesariamente la superficie equipotencial de$\phi_m$. Por lo tanto, la región dentro de la superficie interna no es equipotencial de$\phi_m$ya sea y hay lugares en el interior donde el campo eléctrico$\mathbf E_m$es distinto de cero. La fuerza a cargo$q$es, por lo tanto, distinto de cero en general y hará que la carga se mueva hacia el metal y sea absorbida por él.

La respuesta a tu pregunta es no". Coloque la carga puntual cerca de la pared en algún punto de la pared. Se recogerá una carga superficial en este punto de la pared que atrae la carga puntual.

A continuación doy un ejemplo para el cual uno podría incluso calcular la fuerza de atracción analíticamente. Sin embargo, me mantengo un poco informal aquí ya que el cálculo sería bastante complicado.

Considere una cavidad cúbica con una carga puntual positiva a una pequeña distancia$\delta$desde la pared izquierda y centrado en todas las demás coordenadas.

Las condiciones de contorno potencial (el potencial en el contorno debe ser constante) se satisfacen con el principio de cargas de imagen . Esto se ilustra en la siguiente figura. Allí los puntos rojos representan cargas positivas.$Q$, los azules para cargas negativas$-Q$.

Tenga en cuenta que esta cuadrícula debe continuar hasta el infinito en las tres direcciones del espacio para tener simetría de reflexión en las paredes.

Ahora deja$\delta$hacerse más y más pequeño. la fuerza de la$2\delta$la carga del espejo cercano en la carga puntual real crecerá con$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0(2\delta)^2}$mientras que todas las demás cargas de la imagen forman dipolos donde la carga se mantiene constante y la distancia del par de cargas se hace más pequeña. La influencia de los campos dipol se reducirá a cero. (El producto de la carga y la distancia tendría que converger hacia una constante distinta de cero para permitir que el campo potencial se acerque a una constante distinta de cero. En nuestro caso, el producto de la carga y la distancia se reduce a cero al reducirse la distancia).

Esta metodología también se puede hacer más rigurosa con pruebas de convergencia, etc. Pero, eso ya no es divertido.

Supongamos que el conductor y la cavidad son formas aleatorias asimétricas con$q$colocado en cualquier ubicación general en la cavidad. Esta carga q, inducirá una carga -q en la superficie de la cavidad. La carga sobrante después de dibujar -q es +q y se distribuye sobre la superficie exterior del conductor.

Fuerza sobre la carga,$F=q/vec(E)$se va a hacer cero. Entonces, el campo eléctrico en la ubicación de la carga debe ser cero, asumiendo que es un punto general, necesitamos que el campo sea cero en todos los puntos de la cavidad. Ahora bien, ¿qué está produciendo este campo? Al calcular las fuerzas, el campo debido a las otras cargas solo es importante, por lo que podemos suponer que q se elimina por completo y calcular el campo debido a -q y +q. En la página 101, que está dos páginas por detrás del problema, Griffiths establece claramente que el tercer campo debido a +q es cero por separado que la suma de q y -q en el conductor. Entonces ignoramos +q en este cálculo, esto se entiende por el hecho de que los conductores tienen una permitividad infinita que conduce a un campo simétrico (cero) en una superficie gaussiana en el conductor y como la integral debido a esto es cero ya que la superficie no lo encierra. , y como tal distancia en los conductores para el campo no tiene importancia ya que no disminuye con la distancia, un campo simétrico dará cero integral que es el campo debido a que +q es siempre cero. Esta es una demostración lógica y no matemática.

El campo ahora solo se debe a -q. Ya hemos asumido la cavidad como asimétrica. Tomando una integral de Gauss (integral de superficie del campo eléctrico y el producto escalar con la perpendicular) es igual a la carga encerrada (cero) dividida por la permitividad. Ahora bien, para que la integral sea cero hay tres posibilidades, que la$/vec(E)$es cero en todos los puntos de la superficie (i) o es perpendicular a la superficie (ii) o es tan positivo como negativo en la superficie (iii). Como somos libres de asumir cualquier forma de la superficie para la integral de Gauss independientemente de la cavidad (suponiendo que no haya limitaciones debido a la facilidad de cálculo), podemos simplemente tomar una forma esférica que haría que el rotacional de E fuera distinto de cero para el caso (ii), que rige fuera (ii). El campo solo puede ser cero en todos los puntos para todas las superficies gaussianas para una superficie simétrica, específicamente una esfera. Por lo tanto (iii) es la única posibilidad y como lo demuestra el segundo teorema de unicidad, si hay una distribución de campo y carga relacionada entre sí, puede estar seguro de que es una relación totalmente uno a uno para todo el espacio considerado (no para áreas localizadas, como es el caso del método de imágenes).

En primer lugar, como la carga está en la cavidad del conductor, no sentirá ningún campo eléctrico externo debido a ninguna carga presente fuera de la cavidad. Esto implica que el campo externo neto sobre la carga es nulo, es decir, la carga no sentirá fuerza eléctrica externa. Además, no puede aplicar fuerza sobre sí mismo, por lo que la fuerza neta sobre él es nula.