Campo eléctrico y potencial eléctrico escalar de dos alambres perpendiculares

Question

Campo eléctrico y potencial eléctrico escalar de dos alambres perpendiculares

Sephi-

Por lo tanto, he estado tratando de pensar en una idea que me parezca plausible durante la última media semana, pero estoy atascado y parece que no puedo llegar a ninguna parte con este problema.

El problema es el siguiente (probablemente traducción cruda de la tarea):

Considere dos cables uniformemente cargados de cierta densidad de carga de línea $\lambda$ que se cortan en un ángulo de 90 grados. Calcular el campo eléctrico $\vec{E}(\vec{r})$ y el potencial escalar eléctrico $\phi(\vec{r})$ .

Ahora, aquí está mi progreso (si quieres llamarlo así) hasta ahora:

De la ley de Gauss sabemos que el campo eléctrico de un solo cable cargado debe ser

{\vec{mi}}_{1} (\vec{r}) = \frac{q}{2 π ϵ_{0} r_{1} yo} {\hat{r}}_{1}

$\vec{E}_1(\vec{r})=\frac{Q}{2\pi\epsilon_0r_1l}\hat{r}_1$

Usando la densidad de carga de la línea $\lambda=\frac{Q}{l}$ , Yo sé eso $Q=\lambda l$ . Una vez que inserto eso en la ecuación de mi campo eléctrico y tacho el $l$ me sale

{\vec{mi}}_{1} (\vec{r}) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r_{1}} {\hat{r}}_{1}

$\vec{E}_1(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r_1}\hat{r}_1$

Este debería ser mi campo eléctrico para un solo cable cargado, ¿verdad? Ahora, si agrego otro cable que es exactamente igual, podría usar el principio de superposición y sumarlos. Entonces mi campo eléctrico total debería verse así:

{\vec{mi}}_{t o t a yo} (\vec{r}) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{1}} \hat{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} \hat{r_{2}})

$\vec{E}_{total}(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_1}\hat{r_1}+\frac{1}{r_2}\hat{r_2})$

Con $\hat{r_1}$ y $\hat{r_2}$ siendo los vectores unitarios en la dirección respectiva de una carga de prueba y $r_1$ y $r_2$ siendo las distancias desde esa carga de prueba hasta mis cables. Aquí está mi primer gran problema: no sé si esta es realmente la respuesta correcta al problema y me falta la confianza para asumir que lo es. Parece que tampoco puedo encontrar ningún medio para verificar mi resultado.

Como la segunda parte de la pregunta se basa en gran medida en la primera, es posible que cualquier resultado adicional ya sea incorrecto desde el principio. Aquí está mi intento de encontrar el potencial escalar eléctrico:

En lugar de usar la ecuación para $\vec{E}_{total}$ Traté de calcular los dos potenciales individualmente y luego sumarlos basándose en el principio de superposición una vez más.

ϕ_{1} (\vec{r}) = - \int_{\infty}^{r} {\vec{mi}}_{1} (\vec{r}) d r^{'} = - \int_{\infty}^{r} \frac{λ}{2 π ϵ_{0} r_{1}^{'}} d r^{'} = - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} \int_{\infty}^{r} \frac{1}{r_{1}^{'}} d r^{'}

$\phi_1(\vec{r})=-\int_\infty^r{\vec{E}_1(\vec{r})dr'}=-\int_\infty^r{\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0r'_1}dr'}=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_\infty^r{\frac{1}{r'_1}dr'}$

Entonces, aquí está mi próximo gran problema. Si calculo esta integral y formo la antiderivada de $\frac{1}{r'_1}dr'$ termino con:

ϕ_{1} (\vec{r}) = - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} [en r_{1}^{'}]_{\infty}^{r} = - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} (en r - en \infty) = - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r}{\infty}

$\phi_1(\vec{r})=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}[\ln{r'_1}]_\infty^r=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}(\ln{r}-\ln{\infty})=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r}{\infty}}$

Ahora no tengo idea de adónde ir desde allí... si continúo y conecto los límites de integración, terminaría con un potencial infinito, así que probé un enfoque diferente y usé una ecuación diferente para el potencial escalar:

ϕ_{1} (\vec{r}) = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{q}{r_{1}} = \frac{1}{2 π ϵ_{0}} \frac{λ yo}{r_{1}}

$\phi_1(\vec{r})=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r_1}=\frac{1}{2\pi\epsilon_0}\frac{\lambda l}{r_1}$

De una forma u otra, esto se parece al resultado anterior, lo que hace que me parezca bastante plausible, así que continué con esto y después de crear un "segundo" potencial como este, los agregué basándose en el principio de superposición:

ϕ_{t o t a yo} (\vec{r}) = \frac{λ yo}{2 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}})

$\phi_{total}(\vec{r})=\frac{\lambda l}{2\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})$

Una vez más, me paro (siento) aquí con poca o ninguna confianza en mi resultado.

garyp

Su tercera ecuación es correcta en cierto sentido... pero no muy útil. las variables

r_{1}

$r_1$ y

r_{2}

$r_2$ están referidos a diferentes sistemas de coordenadas, al igual que los vectores unitarios involucrados. Necesitas usar un sistema de coordenadas para todo. Considere colocar los cables en el

x

$x$ y

y

$y$ ejes, y expresar el campo en términos de coordenadas cartesianas

x

$x$ ,

y

$y$ ,

z

$z$ ,

\hat{x}

$\hat{x}$ ,

\hat{y}

$\hat{y}$

\hat{z}

$\hat{z}$ .

proyecto de ley n

Como dice @garyp, debes definir un sistema de coordenadas. También debe elegir un origen, o al menos una ubicación donde se cruzan los cables. Además, ¿son estos cables finitos o infinitamente largos? Puede ser más fácil encontrar primero la función para el potencial y luego tomar el gradiente para encontrar el campo E:

\vec{E} = - \nabla ϕ

$\vec{E}=-\nabla \phi$

Sephi-

(1/2) Bien, intenté hacer lo que me recomendaron, pero no puedo verlo. Los puse en el mismo sistema de coordenadas, con cada cable corriendo a lo largo de uno de los ejes y elegí mi origen en el punto donde se cruzan. Ahora bien, si trato de convertir cualquiera de las ecuaciones anteriores en esa forma, termino con algo que se parece mucho a lo que ya tengo y no sabría adónde ir desde allí:

{\vec{E}}_{x} (\vec{r}) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} \sqrt{y^{2} + z^{2}}} \hat{P}

$\vec{E}_x(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\sqrt{y^2+z^2}}\hat{P}$ .

\hat{P}

$\hat{P}$ es el vector unitario de la posición de mi carga de prueba. Eso debería ser lo mismo para ambos cables, ya que están en...

Sephi-

(2/2) … el mismo sistema de coordenadas.

\sqrt{y^{2} + z^{2}}

$\sqrt{y^2+z^2}$ es solo lo de arriba

r_{1}

$r_1$ , es decir, la distancia desde mi punto de carga hasta el cable. Es lo mismo para el segundo campo E, solo que

r_{2}

$r_2$ es

\sqrt{x^{2} + z^{2}}

$\sqrt{x^2+z^2}$ en este caso. Entonces mi campo E total se ve así:

{\vec{E}}_{t o t a l} (\vec{r}) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} \hat{P} (\frac{1}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + z^{2}}})

$\vec{E}_{total}(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\hat{P}(\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}})$ , sin embargo, no veo cómo esto me ayuda. :/ En cuanto a su pregunta @BillN, la tarea en sí no dice nada sobre la longitud de los cables, por lo que debo suponer que son infinitamente largos.

Respuestas (2)

Campo eléctrico y potencial eléctrico escalar de dos alambres perpendiculares

Su tercera ecuación es correcta en cierto sentido... pero no muy útil. las variables $r_1$ y $r_2$ están referidos a diferentes sistemas de coordenadas, al igual que los vectores unitarios involucrados. Necesitas usar un sistema de coordenadas para todo. Considere colocar los cables en el $x$ y $y$ ejes, y expresar el campo en términos de coordenadas cartesianas $x$ , $y$ , $z$ , $\hat{x}$ , $\hat{y}$ $\hat{z}$ .
Como dice @garyp, debes definir un sistema de coordenadas. También debe elegir un origen, o al menos una ubicación donde se cruzan los cables. Además, ¿son estos cables finitos o infinitamente largos? Puede ser más fácil encontrar primero la función para el potencial y luego tomar el gradiente para encontrar el campo E: $\vec{E}=-\nabla \phi$
(1/2) Bien, intenté hacer lo que me recomendaron, pero no puedo verlo. Los puse en el mismo sistema de coordenadas, con cada cable corriendo a lo largo de uno de los ejes y elegí mi origen en el punto donde se cruzan. Ahora bien, si trato de convertir cualquiera de las ecuaciones anteriores en esa forma, termino con algo que se parece mucho a lo que ya tengo y no sabría adónde ir desde allí: $\vec{E}_x(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\sqrt{y^2+z^2}}\hat{P}$ . $\hat{P}$ es el vector unitario de la posición de mi carga de prueba. Eso debería ser lo mismo para ambos cables, ya que están en...
(2/2) … el mismo sistema de coordenadas. $\sqrt{y^2+z^2}$ es solo lo de arriba $r_1$ , es decir, la distancia desde mi punto de carga hasta el cable. Es lo mismo para el segundo campo E, solo que $r_2$ es $\sqrt{x^2+z^2}$ en este caso. Entonces mi campo E total se ve así: $\vec{E}_{total}(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\hat{P}(\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}})$ , sin embargo, no veo cómo esto me ayuda. :/ En cuanto a su pregunta @BillN, la tarea en sí no dice nada sobre la longitud de los cables, por lo que debo suponer que son infinitamente largos.

Sephi- · Answer 1

Entonces, creo que lo entendí gracias a los consejos que ustedes dos me dieron. Como mencionaste, mis campos eléctricos individuales no eran incorrectos, pero tengo que ponerlos en el mismo sistema de coordenadas. Entonces, el campo eléctrico para el cable que corre a lo largo del eje x debería verse así:

{\vec{mi}}_{X} (\vec{r}) = \frac{λ}{2 π ϵ_{0} \sqrt{y^{2} + z^{2}}} \frac{1}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} (\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix}) = \underline{\frac{λ}{2 π ϵ_{0} y^{2} + z^{2}} (\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix})} .

$\vec{E}_x(\vec{r})=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\sqrt{y^2+z^2}}\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2}}\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z\end{pmatrix}=\underline{\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0y^2+z^2}\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z\end{pmatrix}}.$ Dónde

\sqrt{y^{2} + z^{2}}

$\sqrt{y^2+z^2}$ es la distancia

r_{x}

$r_x$ del alambre/el eje x y

\frac{1}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}} (\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix})

$\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2}}\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z\end{pmatrix}$ es el vector unitario

{\hat{r}}_{x}

$\hat{r}_x$ en la dirección del campo del alambre. El campo para el cable a lo largo del eje y es similar, solo que ahora tengo que considerar el valor x en lugar del valor y. Así que debería verse así:

{\vec{mi}}_{y} (\vec{r}) = \underline{\frac{λ}{2 π ϵ_{0} X^{2} + z^{2}} (\begin{matrix} X \\ 0 \\ z \end{matrix})} .

$\vec{E}_y(\vec{r})=\underline{\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0x^2+z^2}\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z\end{pmatrix}}.$ Poniéndolos juntos confiando en el principio de superposición, obtengo un campo eléctrico total de

{\vec{mi}}_{t o t a yo} (\vec{r}) = \underline{\underline{\frac{λ}{2 π ϵ_{0}} (\frac{1}{y^{2} + z^{2}} (\begin{matrix} 0 \\ y \\ z \end{matrix}) + \frac{1}{X^{2} + z^{2}} (\begin{matrix} X \\ 0 \\ z \end{matrix}))}} .

$\vec{E}_{total}(\vec{r})=\underline{\underline{\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{y^2+z^2}\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z\end{pmatrix}+\frac{1}{x^2+z^2}\begin{pmatrix} x \\ 0 \\ z\end{pmatrix}\right)}}.$

@BillN: Gracias por el enlace sobre el potencial infinito. Ese sitio me dio una idea decente de por qué sucede y lo que tengo que hacer. También leí sobre el tema en Introducción a la electrodinámica de David J. Griffiths .

Ahora, si empiezo con solo un potencial y elijo un punto de referencia finito, termino con algo bastante similar a mis ideas anteriores solo que sin el potencial infinito:

\begin{array}{rcl} ϕ_{X} (\vec{r}) = - \int_{a}^{r_{X}} {\vec{mi}}_{X} (\vec{r}) d r^{'} & = & - \int_{a}^{r_{X}} \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} \frac{1}{r} d r^{'} \\ = & - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} \int_{a}^{r_{X}} \frac{1}{r} d r^{'} \\ = & - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} {[en r]}_{a}^{r_{X}} \\ = & - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} (en r_{X} - en a) \\ = & \underline{- \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{X}}{a}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*}\phi_{x}(\vec{r})=-\int_a^{r_x}{\vec{E}_x(\vec{r})dr'} &=& -\int_a^{r_x}{\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}dr'} \\ &=&-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_a^{r_x}{\frac{1}{r}dr'} \\ &=&-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left[\ln{r}\right]_a^{r_x} \\ &=&-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\ln{r_x}-\ln{a}\right) \\ &=&\underline{-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r_x}{a}}} .\end{eqnarray*}$ Ahora puedo hacer lo mismo para el potencial del "cable Y" usando el mismo punto de referencia finito a para obtener

ϕ_{y} (\vec{r}) = \underline{- \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{y}}{a}} .

$\phi_{y}(\vec{r})=\underline{-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r_y}{a}}}.$

r_{x}

$r_x$ y

r_{y}

$r_y$ Lo sé desde arriba, así que si sumo los dos potenciales basándome en el principio de superposición, mi potencial total para ambos cables debería verse así:

\begin{array}{rcl} ϕ_{t o t a yo} (\vec{r}) = ϕ_{X} (\vec{r}) + ϕ_{y} (\vec{r}) & = & - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{X}}{a} + (- \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{y}}{a}) \\ = & - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} (en \frac{r_{X}}{a} + en \frac{r_{y}}{a}) \\ = & \underline{\underline{- \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{r_{X} \cdot r_{y}}{a^{2}}}} . \end{array}

$\begin{eqnarray*}\phi_{total}(\vec{r})=\phi_{x}(\vec{r})+\phi_{y}(\vec{r}) &=& -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r_x}{a}}+\left(-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r_y}{a}}\right) \\ &=& -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left(\ln{\frac{r_x}{a}}+\ln{\frac{r_y}{a}}\right) \\ &=& \underline{\underline{-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{r_x\cdot r_y}{a^2}}}}.\end{eqnarray*}$ ahora si me conecto

r_{x}

$r_x$ y

r_{y}

$r_y$ yo obtengo

ϕ_{t o t a yo} (\vec{r}) = - \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{\sqrt{y^{2} + z^{2}} \cdot \sqrt{X^{2} + z^{2}}}{a^{2}} = \underline{\underline{- \frac{λ}{2 π ϵ_{0}} en \frac{\sqrt{(y^{2} + z^{2}) (X^{2} + z^{2})}}{a^{2}}}} .

$\phi_{total}(\vec{r})=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{\sqrt{y^2+z^2}\cdot \sqrt{x^2+z^2}}{a^2}}=\underline{\underline{-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln{\frac{\sqrt{(y^2+z^2)(x^2+z^2)}}{a^2}}}}.$ Si esto es realmente correcto, tendré que esperar hasta que lo comprobemos en clase la próxima semana, pero es la primera vez que realmente me siento seguro de mis resultados.

proyecto de ley n · Answer 2

Cuando se trata de cargas lineales infinitamente largas (básicamente una geometría cilíndrica), calcular el potencial relativo al infinito se convierte en un problema. Tienes que establecer una referencia (suelo/tierra) en una ubicación finita. Entonces, su resultado de una diferencia de potencial infinita no es incorrecto, aunque es confuso la primera vez que lo ve.

Este sitio proporciona una descripción de por qué sucede esto. De hecho, está conectando a tierra un extremo de su distribución y luego acumulando una cantidad infinita de carga en la línea.

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Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

Campo de un cilindro con densidad de carga superficial σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

Derivación del voltaje del campo eléctrico

Fuerza sobre una carga puntual qqq dentro de una cavidad en un conductor sin carga

Cálculo del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas, dada la diferencia de potencial

Potencial eléctrico en un punto

Hoja conductora infinita entre dos cargas potenciales

Potencial eléctrico de esfera

Trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga - ¿Negativo o Positivo?

¿La ley de Gauss es incorrecta o es posible que ∫sE⃗ ⋅ds⃗ =0∫sE→⋅ds→=0\int_s{\vec E} \cdot d\vec{s}=0 no implique E⃗ =0E→=0 \vec E = 0?