Cálculo del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas, dada la diferencia de potencial

Question

Cálculo del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas, dada la diferencia de potencial

I. Wewib

Quiero calcular el campo eléctrico (magnitud y dirección) en un capacitor de placas paralelas. El condensador tiene un lado positivo y un lado negativo.

Lo que me han dado es que el potencial en el lado positivo, V ₊ , es 0 V y el potencial en el lado negativo, V _- , es -10 ⁵ V. Así que la diferencia de potencial V ₊ - V _- = 10 ⁵ V .

Quiero calcular el campo eléctrico entre las placas paralelas a partir de esta relación: $V_{B} - V_{A} = - \int_A^B \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = - \int_A^B E \cos{(\phi)} \, \mathrm{d}l$ .

Aquí solo trabajamos en una dimensión, por lo que los signos determinarán las direcciones de los vectores. Coloqué un eje x, con su origen en la placa positiva y está aumentando hacia el lado negativo. También elegí que la distancia entre las placas fuera de 1 m. Entonces, la coordenada x del lado positivo es 0 y la coordenada x del lado negativo es 1. Aquí hay un esquema de la situación:

elegí mi $x$ -eje de esta manera porque quería que mi $\vec{E}$ ser positivo. Ahora apunta en la dirección x positiva.

Así que ahora entremos en el cálculo:

$V_{+} - V_{-} = 10^{5} \, \mathrm{V} = - \int_{x_{-}}^{x_{+}} \! \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = -\int_{x_{-}}^{x_{+}} \! E \cos{(\phi)} \, \mathrm{d}l$ .

Sabemos que E es constante entre las dos placas y que apunta del lado positivo al lado negativo. Nos integramos desde $x_{-}$ a $x_{+}$ entonces $\mathrm{d}\vec{l}$ va del lado negativo al lado positivo. Entonces $\mathrm{d}\vec{l}$ está en la dirección opuesta a $\vec{E}$ . Esto significa que el ángulo $\phi$ entre ellos es $\pi$ y $\cos{(\pi)} = -1$ . La ecuación se convierte en: $10^{5} \, \mathrm{V} = - E \, (-1) \int_{x_{-}}^{x_{+}} \! \mathrm{d}l = E \, (x_{+} - x_{-}) = E \, (0 \, \mathrm{m} - 1 \, \mathrm{m}) = -1 \, \mathrm{m} \, E \Longleftrightarrow E = \frac{10^{5} \, \mathrm{V}}{-1 \, \mathrm{m}} = -10^{5} \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}} = -10^{5} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}$ .

Mi $E$ resultó ser negativo. Esto me confunde, porque elegí mi eje x de una manera en la que E apuntaría a la dirección positiva. ¿Qué hice mal?

probablemente_alguien

Piense en el hecho de que el campo eléctrico "fluye" de alto potencial a bajo potencial.

granjero

\vec{E} \cdot d \vec{l}

$\vec E \cdot d\vec l$ es negativo ya que los dos vectores están en direcciones opuestas o dicho de otra manera

ϕ

$\phi$ es

180^{\circ}

$180 ^\circ$ .

el fotón

@Farcher, dieron cuenta de eso cuando hablan de la

\cos (π)

$\cos(\pi)$ término. El problema es (creo) que cuentan dos veces este efecto cuando sustituyen

\int_{x_{-}}^{x_{+}} d l = (x_{+} - x_{-})

$\int_{x_-}^{x_+}dl = (x_+ - x_-)$ . Pero no estoy seguro de cómo explicar eso.

granjero

Necesitas mirar el problema, no las Matemáticas. La doble contabilización del signo negativo es el error más común en este tipo de derivación y la derivación del campo eléctrico es menos el gradiente de potencial. Pasar de la placa derecha a la izquierda requiere que una fuerza externa realice un trabajo positivo o un trabajo negativo realizado por el campo eléctrico. De cualquier manera, el potencial aumenta.

I. Wewib

Entonces, ¿cómo deberían ser mis cálculos @Farcher? ¿Debería simplemente hacer: E = U/d y luego saber que la dirección de E es la dirección del potencial decreciente?

I. Wewib

@Farcher ¿fue mi error contar dos veces el signo negativo? ¿Qué debería cambiar entonces en mis cálculos? ¿Debo omitir el cos(phi) porque la integral me daría el signo negativo, o qué debo hacer para corregir este error? Estoy tan confundido. Gracias de antemano por la ayuda.

I. Wewib

@ThePhoton Estaba pensando lo mismo, que contar dos veces el signo negativo es el error. Pero el problema es que no sé cómo puede ser un error, porque hice algo matemáticamente correcto, ¿no? Creo que sí. Quiero decir,

\vec{E} \cdot d \vec{l}

$\vec{E} \cdot d\vec{l}$ es el producto de las magnitudes por el coseno del ángulo entre ellas. Ángulo = pi y cos(pi) = -1. Y ya había un signo negativo, así que ahora tenemos un positivo, pero el

x_{+} - x_{-}

$x_{+} - x_{-}$ dio otro negativo. Creo que hice todo bien allí, por favor díganme si me equivoco.

el fotón

@I.Wewib, creo que el problema es que

\int_{x_{1}}^{x_{2}} d \vec{ℓ}

$\int_{x_1}^{x_2}{\rm d}\vec{\ell}$ no es significativo por sí mismo. Así que no puedes simplemente tomar el

\vec{E}

$\vec{E}$ término fuera de la integral como lo hiciste. Pero no puedo decirte qué "ley" rompiste cuando lo hiciste.

Respuestas (4)

Cálculo del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas, dada la diferencia de potencial

Piense en el hecho de que el campo eléctrico "fluye" de alto potencial a bajo potencial.
$\vec E \cdot d\vec l$ es negativo ya que los dos vectores están en direcciones opuestas o dicho de otra manera $\phi$ es $180 ^\circ$ .
@Farcher, dieron cuenta de eso cuando hablan de la $\cos(\pi)$ término. El problema es (creo) que cuentan dos veces este efecto cuando sustituyen $\int_{x_-}^{x_+}dl = (x_+ - x_-)$ . Pero no estoy seguro de cómo explicar eso.
Necesitas mirar el problema, no las Matemáticas. La doble contabilización del signo negativo es el error más común en este tipo de derivación y la derivación del campo eléctrico es menos el gradiente de potencial. Pasar de la placa derecha a la izquierda requiere que una fuerza externa realice un trabajo positivo o un trabajo negativo realizado por el campo eléctrico. De cualquier manera, el potencial aumenta.
Entonces, ¿cómo deberían ser mis cálculos @Farcher? ¿Debería simplemente hacer: E = U/d y luego saber que la dirección de E es la dirección del potencial decreciente?
@Farcher ¿fue mi error contar dos veces el signo negativo? ¿Qué debería cambiar entonces en mis cálculos? ¿Debo omitir el cos(phi) porque la integral me daría el signo negativo, o qué debo hacer para corregir este error? Estoy tan confundido. Gracias de antemano por la ayuda.
@ThePhoton Estaba pensando lo mismo, que contar dos veces el signo negativo es el error. Pero el problema es que no sé cómo puede ser un error, porque hice algo matemáticamente correcto, ¿no? Creo que sí. Quiero decir, $\vec{E} \cdot d\vec{l}$ es el producto de las magnitudes por el coseno del ángulo entre ellas. Ángulo = pi y cos(pi) = -1. Y ya había un signo negativo, así que ahora tenemos un positivo, pero el $x_{+} - x_{-}$ dio otro negativo. Creo que hice todo bien allí, por favor díganme si me equivoco.
@I.Wewib, creo que el problema es que $\int_{x_1}^{x_2}{\rm d}\vec{\ell}$ no es significativo por sí mismo. Así que no puedes simplemente tomar el $\vec{E}$ término fuera de la integral como lo hiciste. Pero no puedo decirte qué "ley" rompiste cuando lo hiciste.

alfredo centauro · Answer 1

Volver a lo básico:

\vec{mi} = - \nabla V

$\vec E = -\nabla V$

En una dimensión, $x$ , tenemos

{mi}_{X} d X = - d V (X)

$E_x \mathrm{d}x = -\mathrm{d}V(x)$

Ahora, un campo eléctrico positivo está en el $+x$ dirección, es decir, integrando $E_x$ de 0 a 1 dará un resultado positivo si el campo eléctrico es definido positivo.

\int_{0}^{1} {mi}_{X} d X = - V (1) + V (0) = - (- 10^{5}) + 0 = 10^{5} V

$\int_0^1E_x \mathrm{d}x = -V(1) + V(0) = -(-10^5) + 0 = 10^5 \mathrm{V}$

Sabemos que (ignorando los campos marginales), el campo eléctrico es constante entre las placas, por lo que

{mi}_{X} = 10^{5} \frac{V}{metro}

$E_x = 10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$

Pero, ¿por qué no funciona al revés?

Creo que sus límites de integración están cambiados. En el caso general, uno parametriza la curva con, digamos, $t$ y escribe

\int_{C} \vec{mi} \cdot d \vec{yo} = \int_{a}^{b} \vec{mi} (\vec{X} (t)) \cdot \frac{d \vec{X} (t)}{d t} d t

$\int_C \vec E \cdot \mathrm{d}\vec l = \int_a^b \vec E(\vec x(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\vec x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt}$

Para este caso, podríamos escribir

\int_{0}^{1} mi (X (t)) \frac{d X (t)}{d t} d t

$\int_0^1 E(x(t))\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt}$

Como el camino es de $x=1$ a $x=0$ , debe ser eso

X (t) = 1 - t \to \frac{d X (t)}{d t} = - 1 metro

$x(t) = 1 - t \rightarrow \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}} = - 1 \mathrm{m}$

así, por $E$ constante, tenemos

\int_{0}^{1} mi (X (t)) \frac{d X (t)}{d t} d t = - \int_{0}^{1} mi (1 - t) d t = - mi \int_{0}^{1} d t = - mi \cdot 1 metro

$\int_0^1 E(x(t))\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{dt}}\,\mathrm{dt} = -\int_0^1 E(1 - t)\,\mathrm{dt} = -E\int_0^1 \mathrm{dt} = -E \cdot 1\, \mathrm{m}$

Entonces

Δ V = 10^{5} V = - \int_{C} \vec{mi} \cdot d \vec{yo} = - (- mi \cdot 1 metro) \to mi = 10^{5} \frac{V}{metro}

$\Delta V = 10^5\,\mathrm{V} = -\int_C \vec E \cdot \mathrm{d}\vec l = -(-E \cdot 1\, \mathrm{m}) \rightarrow E = 10^5 \mathrm{\frac{V}{m}}$

Esto tiene mucho sentido, gracias por tu respuesta. Pero, ¿por qué no funciona al revés? $V(0) - V(1) = - \int_1^0 E_x \mathrm{d}x = - E_x (-1 \mathrm{m})$ . Entonces $E_x = 10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$ . Pero $E = \frac{E_x}{cos(\phi)} = \frac{E_x}{-1}\mathrm{\frac{V}{m}}$ (porque integramos de 1 a 0, $\mathrm{d}\vec{x}$ puntos del 1 al 0 y $\vec{E}$ puntos del 0 al 1, entonces $\phi = \pi$ ). Y $E =\frac{E_x}{-1}\mathrm{\frac{V}{m}}=-10^5\mathrm{\frac{V}{m}}$ . Así que es negativo, y el tuyo es positivo. Debo estar haciendo algo mal. ¿Puedes decirme qué hice mal allí?
en tu respuesta $\phi = 0$ porque $\vec{E}$ puntos de 0 a 1, y también lo hace $\mathrm{d}\vec{x}$ porque integras de 0 a 1. Pero en mis cálculos, integro de 1 a 0 y $\mathrm{d}\vec{x}$ puntos de 1 a 0 entonces, pero el campo eléctrico aún apunta de 0 a 1. Así que en mis cálculos, $\vec{E}$ y $\mathrm{d}\vec{x}$ se oponen entre sí, por lo que $\phi = \pi$ . Tú y yo empezamos con la misma fórmula pero terminé con una negativa. $\vec{E}$ y tu con un positivo. Esto me confunde mucho, ¿dónde me equivoqué? ¿Es un error de razonamiento o matemático?

Richard H. Downey · Answer 2

Si los límites de integración están en términos de $x$ , debe cambiar las variables de integración de $dl$ a $dx$ . En el sistema de coordenadas elegido, $dx=-dl$ , por lo que hacer la sustitución de variable correcta corrige el signo.

granjero · Answer 3

Mi $E$ resultó ser negativo. Esto me confunde, porque elegí mi eje x de una manera en la que E apuntaría a la dirección positiva. ¿Qué hice mal?

Todo depende de la dirección que definas como positiva.

Lo es $\hat x$ O es eso $\hat l$ ?

De su diagrama, ha definido un vector unitario. $\hat x$ y dos vectores de posición $0 \,\hat x$ y $1 \,\hat x$ donde el cero y el uno son los componentes de los vectores de posición en el $\hat x$ dirección.

Dejar $\vec E = E \,\hat x$ y $d\vec x = dx \,\hat x$ .

Como se ha definido la dirección del vector unitario, puede tomar $E$ y $dx$ ser componentes de vectores $\vec E$ y $d\vec x$ en el $\hat x$ dirección.

Entonces $\vec E \cdot d\vec x = (E\,\hat x) \cdot (dx\,\hat x) = E \,dx$ donde el $dx$ está determinada por el camino tomado.

Trabajo realizado por el campo eléctrico al tomar la unidad de carga positiva de $x=0$ a $x=1$ es $\displaystyle \int^1_0 E\,dx = E$ si el campo eléctrico es constante.

Menos el trabajo realizado por el campo eléctrico (el resultado de la integración) le da el cambio de potencial al pasar de $x=0$ a $x=1$ lo que da

$-E = -100000-0 \Rightarrow E = 100\,000 \Rightarrow E = 100\,000 \,\hat x$ .

Así que ha encontrado que el campo eléctrico tiene una magnitud de $100\,000 \, \rm Vm^{-1}$ en el $\hat x$ dirección.

Ahora observe el trabajo realizado por el campo eléctrico al pasar de $x=1$ a $x=0$ .
Todo lo que hay que hacer es cambiar los límites de la integración ya que el resultado de hacer el producto escalar no cambia.

$\displaystyle \int^0_1 E\,dx = -E$ y menos esta cantidad te da el cambio de potencial al pasar de $x=1$ a $x=0$ lo que da

$-(-E) = 0-(-100000) \Rightarrow E = 100\,000 \Rightarrow E = 100\,000 \,\hat x$ como antes.

Notará que la integración determina la $dx$ pasos y su señal a lo largo del camino.

Ahora introdujiste en tu diagrama un vector $d \vec l$ que podemos suponer que es igual a $dl\, \hat l$ dónde $\hat l = -1 \,\hat x$ .

Si quieres los vectores de posición $0\, \hat x$ y $0\, \hat l$ a ambos ser el origen entonces la posición $x=1\,(x \,\hat x = 1 \, \hat x)$ también debe ser la posición $l=-1\,(l\,\hat l = -1\, \hat l)$ .

Habiendo asignado las dos posiciones tenemos $\vec E = E \,\hat l$ y $d\vec l = dl\,\hat l$ dónde $E$ es la componente del campo eléctrico en el $\hat l$ dirección.

La dirección del campo eléctrico se hará evidente después de que se haya realizado la integración.

$\vec E \cdot d\vec l = (E\,\hat l) \cdot (dl\,\hat l) = E \, dl$

Trabajo realizado por el campo eléctrico al pasar de $l=0$ a $l=-1$ es $\displaystyle \int^{-1}_0 E\,dl = -E$

Menos el trabajo realizado por el campo eléctrico (menos el resultado de la integración) le da el cambio de potencial al pasar de $l=0$ a $l=-1$ lo que da

$-(-E) = -100000-0 \Rightarrow E = -100\,000 \Rightarrow \vec E = -100\,000 \,\hat l$

o $\vec E = 100\,000 \,(-\hat l) = 100\,000\, \hat x$ como antes.

Pao · Answer 4

Cuando escribes: $\vec{E}\cdot\vec{dl}=E\cos(\phi)dl$ , eso significa que dl es la norma del segmento de línea infinitesimal de su camino. ¡Siempre es positivo! Por lo tanto, $\int_{x+}^{x_-} dl$ es la longitud del segmento entre x+ y x-.

Supongo que deberías escribir $\vec{E}\cdot\vec{dl}=\vert E \vert\cos(\phi) \vert{dl}\vert$ y luego:

$\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert \int_{x+}^{x_i} dl \vert_{dl>0} \vert + \vert\int_{xi}^{x_{i+1}} dl \vert_{dl<0} +...+ \vert\int_{x_n}^{x_-} dl \vert_{dl>0}= \vert\int_{x+}^{x_{-}} dl \vert_{dl<0} =\vert x_- -x_+ \vert$ que es positivo.

NB: Lo que hago en el último paso es separar la integral en partes con dl del mismo signo, lo cual no era necesario en tu caso ya que en todo tu camino (1D), dl era negativo.

¿Ah, de verdad? ¿Así es como funciona? Ya sabia eso $\vec{E}\cdot\vec{dl}=\vert E \vert\cos(\phi) \vert{dl}\vert$ . Pero yo no sabía eso $\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert \int_{x+}^{x_-} dl \vert$ . Pensé esto: $\int_{x+}^{x_-} \vert{dl}\vert = \vert x_{-} \vert - \vert x_{+} \vert$ . ¿Estás seguro de que lo que escribiste es matemáticamente correcto?

Cálculo del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas, dada la diferencia de potencial

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alfredo centauro

Richard H. Downey

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Pao

I. Wewib

Pao

¿Estoy en lo correcto al encontrar la carga, el desplazamiento eléctrico, los campos eléctricos y la energía de este sistema de circuito?

Potencial debido a un anillo cargado: Discontinuidad del campo eléctrico

Campo de un cilindro con densidad de carga superficial σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

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¿Por qué parece que la dependencia de la diferencia de potencial de la capacitancia y la energía total almacenada en un capacitor de placas paralelas son contradictorias?

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