Fuerza gravitacional versus aceleración centrípeta

La fórmula a la que has hecho referencia,$\vec a_c = -\omega^2\vec r$, debe definir$\vec r$en función de la posición angular, que depende del tiempo (movimiento uniforme y todo). Algo como$\vec r(\omega t) = r(\hat x \sin \omega t + \hat y \cos \omega t)$.

$\omega$esencialmente representa la velocidad angular, lo que significa para constante$\omega$tienes una velocidad orbital$v$eso depende de la distancia$r$a través de la relación$a_c=\frac{v^2}r$. Esto se aplica a cualquier movimiento circular uniforme .

La fuerza de gravedad a una distancia dada te da la aceleración, y con una velocidad orbital adecuada el movimiento será uniforme. Sin embargo, como habrás notado, la velocidad angular para un movimiento circular uniforme debido a una fuerza$\propto \frac1{r^2}$(como la gravedad) tendrá una velocidad angular decreciente con el aumento $r$.

Si sólo le preocupa la magnitud de$a_c$, Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

$$a_c = \omega^2r = \frac{v^2}r$$

Primero, puedes observar lo siguiente:

$$v^2 = \omega^2r^2$$

$$v = \omega r$$

Pero también hay que tener en cuenta que$a_c$en sí mismo depende de$r^2$a través de$a_c = \frac {\mathbf F_g} m = \frac{GM_e}{r^2}$.

Entonces la velocidad orbital depende de$r$y la velocidad angular depende de$r$, para el movimiento orbital uniforme debido a la gravedad, pero de diferentes formas:

$$\sqrt \frac{GM_e}{r} = v$$

$$\sqrt \frac{GM_e}{r^3} = \omega$$

Entonces, en cierto modo, tiene razón, si la velocidad angular se mantiene constante, necesita una mayor$a_c$con incremento$r$para crear un movimiento orbital (circular) uniforme. Sin embargo, esto es solo porque la velocidad orbital aumenta con la distancia para una velocidad angular constante. $\omega$, que a su vez requiere una mayor$a_c$para que el movimiento siga siendo uniforme y circular. Pero bajo la gravitación,$\omega$no es constante porque la fuerza no crece linealmente con la distancia (de hecho, se encoge), y$a_c$es menor al aumentar$r$como resultado.

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Con respecto a sus dos sondas, llamémoslas E (en la tierra) y S (en el espacio)... Considere que E en realidad no está en movimiento circular uniforme en absoluto: está en la superficie de la tierra, que a su vez está girando. De hecho, es al revés, la sonda E se mueve demasiado lento para lograr un movimiento circular uniforme alrededor de la tierra y se caería.

Piénselo de esta manera: si la aceleración que se siente es mayor que la que se requiere para un movimiento circular uniforme a una distancia y velocidad dadas (como es el caso cerca de la superficie de la tierra en situaciones cotidianas), el objeto se acercaría al centro, en otras palabras caen al suelo. Considere qué tan lejos y con qué fuerza tiene que lanzar algo a nivel del suelo en el horizonte para que nunca toque el suelo; las órbitas geosincrónicas / geoestacionarias son exactamente esto, pero a una altura donde la velocidad requerida para un movimiento uniforme es lo suficientemente pequeña como para igualar la velocidad a la que gira la tierra.

Puede ser útil tratar de calcular la velocidad orbital (no en términos de$\omega$) para S, y luego compárelo con la velocidad orbital necesaria para un movimiento uniforme bajo la gravedad a distancias cada vez más pequeñas de la Tierra; debe encontrar que a medida que se acerca, debe moverse considerablemente más rápido para mantener un movimiento circular uniforme ($v^2 \propto \frac1r$). Y con cualquier aumento en la velocidad, para que el movimiento permanezca uniforme y circular en el mismo radio, la aceleración debe aumentar ($v^2 \propto a_c$).

Otra forma de verlo es que en una órbita geoestacionaria, la aceleración debida a la gravedad y la aceleración centrípeta son iguales y se cancelan exactamente entre sí. Esto es cierto para CUALQUIER órbita, pero con la órbita geoestacionaria, por supuesto, la velocidad angular del satélite coincide exactamente con la rotación de la tierra.

Una sonda en una órbita más alejada que la geoestacionaria girará más lentamente debido a la disminución de la aceleración gravitatoria y una sonda en una órbita más cercana a la Tierra girará más rápidamente porque la gravedad es más fuerte. De lo contrario, dominará la aceleración gravitacional o centrípeta y la sonda caerá a una órbita más baja o ascenderá a una órbita más alta.

Sin embargo, un objeto que se encuentra estacionario en relación con la superficie de la tierra no está en equilibrio. La aceleración debida a la gravedad en la superficie terrestre es de unos 9,8 m/s2, mientras que la aceleración centrípeta es de sólo 0,033 m/s2.