¿Qué le sucede a un cuerpo en órbita que se mueve con la velocidad angular de la Tierra a varias altitudes?

Prácticamente lo ha cubierto todo, excepto que debajo de la órbita geoestacionaria, la órbita es elíptica: no hay transición a una órbita hiperbólica en pequeñas$r$.

Hagamos un dibujo del poste y eliminemos algunas fórmulas preliminares:

Si estás en el poste a distancia$r$desde el centro de la Tierra (NB desde el centro de la Tierra no desde la superficie de la Tierra) entonces su velocidad tangencial es:

$$v = r\omega \tag{1}$$

dónde$\omega$es la velocidad angular de la Tierra:$\omega \approx 7.2921 \times 10^{-5}$radianes/seg.

La velocidad orbital en un radio$r$es dado por:

$$v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}} \tag{2}$$

y la velocidad de escape en un radio$r$es dado por:

$$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \tag{3}$$

Entonces, como dices, la velocidad de escape es$\sqrt{2}$veces la velocidad orbital.

La órbita geoestacionaria es el punto donde la velocidad tangencial es la misma que la velocidad orbital, por lo que al igualar las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:

$$r\omega = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$

o reorganizar para dar la altitud de la órbita geoestacionaria,$r_g$:

$$r_g = \sqrt[3]{\frac{GM}{\omega^2}}$$

Obtenemos la posición en el poste donde la velocidad es igual a la velocidad de escape al igualar las ecuaciones (1) y (3) para obtener:

$$r_e = \sqrt[3]{\frac{2GM}{\omega^2}} = r_g\sqrt[3]{2}$$

Entonces para$r > r_e$la órbita es hiperbólica y para$r < r_e$la órbita es elitica. En$r = r_e$la órbita es parabólica.

Para$r_g < r < r_e$el eje semi-mayor de la órbita está aproximadamente a lo largo de su dirección de viaje, mientras que para$r < r_g$el eje semi-mayor está a lo largo de la línea que te conecta con la Tierra.

El último paso es averiguar cuándo rozaremos la Tierra, y lo hacemos usando la ecuación vis-viva . De aquí podemos derivar la relación entre el perigeo$r_p$y el apogeo$r_a$de la órbita:

$$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v^2r_a} - 1}$$

El apogeo es tu distancia$r$, y la velocidad$v$es igual a$r\omega$. Simplemente rozas la Tierra cuando el perigeo es igual al radio de la Tierra.$R$(¡Me estoy quedando sin subíndices útiles!), por lo que la distancia a lo largo del polo donde acabas de golpear la Tierra está dada por:

$$R = \frac{r}{\frac{2GM}{r^3\omega^2} - 1}$$

Y reorganizando esto para resolver$r$obtenemos la ecuación de cuarto grado:

$$r^4 + Rr^3 - \frac{2GMR}{\omega^2} = 0$$

Hay una fórmula para resolver las cuárticas, pero es terriblemente complicada, así que resolví la ecuación numéricamente para obtener:

$$r \approx 29,779,000$$

Así que para resumir:

• $r > r_e$- hiperbólico
• $r = r_e$- parabolico
• $r_g < r < r_e$- elíptica
• $r = r_g$- circular
• $r < r_g$- elíptica
• $r <= 29,820,000$metros - ¡splat!

El "poste" al que te refieres también se conoce como ascensor espacial. La creación de un cable con suficiente resistencia a la tracción es actualmente inviable, pero los nanotubos y macrotubos de carbono son prometedores.

Su pregunta puede generalizarse, ignorando la forma no esférica de la Tierra, para aplicarla a cualquier posición en el espacio alrededor de la Tierra reemplazando "altura sobre el ecuador" con "distancia desde el eje de rotación de la Tierra" (en adelante, r).

Todas las preguntas, excepto la del mínimo r para alcanzar la órbita, se pueden responder usando matemáticas elementales y conservación de energía.

La velocidad en cualquier r se puede calcular fácilmente mediante

$$\omega = \frac{2 \cdot \pi}{\textit{1 sidereal day}}$$

Note la diferencia: Un año tiene 366(.2425) días siderales, pero solo 365(.2425) días

$$v(r) = \omega r \approx 7.29212 \cdot 10^{-5} \frac{r}{s}$$

A nivel del suelo ($r=6378137 m$), eso es$465 \frac{m}{s}$. A altitud geoestacionaria, se trata de$3\frac{km}{s}$. La velocidad de la luz se alcanza a una distancia de unas 27 UA (léase: muy, muy lejos).

La energía específica (por unidad de masa) de su órbita,$E_{spec}$, es la suma de las energías cinética y potencial específicas, y negativa para una órbita límite (circular, elíptica y/o suborbital).

$$E_{spec,kin}(r) = \frac{1}{2} v(r)^2 = \frac{1}{2} \omega^2 r^2$$ $$E_{spec,pot}(r) = \int_{r}^{\inf}{\frac{GM}{r^2}dr} = -\frac{GM}{r}$$

La órbita de escape parabólica tiene una energía específica de cero:

$$E_{spec}(r) = 0$$ $$\frac{GM}{r} = \frac{1}{2} \omega^2 r^2$$ $$2 GM = \omega^2 r^3$$ $$r = \sqrt[3]{\frac{2 GM}{\omega^2}}$$ $$r = 53123487m$$

Eso es 46.745 km sobre la superficie de la tierra, o 10.959 km sobre la altitud geoestacionaria. Tenga en cuenta que las altitudes ligeramente más bajas también conducirán en última instancia a un escape debido a la naturaleza de tres cuerpos del sistema Tierra/Sol/Objeto ( lectura adicional ).

Todas las trayectorias por encima de esta altitud son hiperbólicas, con excentricidades crecientes. Entre la altitud geoestacionaria y la de escape, tiene varias órbitas elípticas con excentricidades que van desde cero (en altitud geoestacionaria) hasta uno (en altitud de escape). El Periapsis (punto más cercano a la tierra) está a la altura de lanzamiento. El cálculo de la altitud Apoapsis (más alejada de la Tierra) y otros parámetros orbitales requiere ecuaciones de Kepler; este sitio proporciona una excelente lista de todas las ecuaciones relevantes.

Ya conocemos la altitud del Periapsis, más la energía específica de la órbita.$E_{spec}$. A partir de eso podemos calcular el semieje mayor de la elipse:

$$a = -\frac{GM}{2E_{spec}}$$

La altitud de Apoapsis se puede calcular a través de

$$r_{ap} + r_{pe} = 2a = -\frac{GM}{2E_{spec}}$$ $$r_{ap} = -\frac{GM}{E_{spec}} - r_{pe} = -\frac{GM}{E_{spec}} - r_{geostat}$$

Todas las órbitas por debajo de la altitud geoestacionaria son elípticas, con su Apoapsis fijada en su altitud de liberación y Periapsis por debajo; el Periapsis se puede calcular como arriba:

$$r_{pe} = -\frac{GM}{E_{spec}} - r_{ap} = -\frac{GM}{E_{spec}} - r$$

El punto en el que la órbita toca la superficie de la Tierra (y por lo tanto se convierte en suborbital) se puede calcular estableciendo$r_{pe} = r_{earth}$:

$$r_{earth} = -\frac{GM}{E_{spec}} - r$$ $$E_{spec} = -\frac{GM}{r_{earth} + r}$$ $$\frac{1}{2} \omega^2 r^2 - \frac{GM}{r} = -\frac{GM}{r_{earth} + r}$$ $$\frac{\omega^2 r^2}{2GM} + \frac{1}{r_{earth} + r} = \frac{1}{r}$$

La solución a esta ecuación no es agradable y se deja como ejercicio. La solución numérica es 29.790 km, es decir, 23.412 km sobre la superficie terrestre, o 12.373 km por debajo de la altitud geoestacionaria. Para lograr una órbita estable (periapsis = 200 km), se requiere una altitud de 23 610 km (198 km más alta).