Aumento del efecto de la masa sobre el equilibrio entre la fuerza centrípeta y la fuerza centrífuga

Siempre que agregue la masa de una manera que no afecte su velocidad, entonces la órbita no cambia (su estrella también debe estar fija).

Digamos que el planeta (masa$M$) está orbitando en un radio$R$, sobre una estrella de masa$M_\star$. La velocidad orbital es

$$v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$$ . Ahora, en los comentarios, indicó que agregó la masa de una manera que no afecta directamente su velocidad. Dado que se conserva la cantidad de movimiento, la única forma de hacerlo es dar la masa adicional $m$una velocidad $v_1$así como en el momento en que llega al planeta. Como puede ver, cuando el planeta captura la masa, no hay cambio en el momento angular ( $mv_1R+Mv_1R=(m+M)v_1R$). Ahora, dado que no hay cambio en el momento angular, orbitará a la misma velocidad angular. Si es la misma velocidad angular, el radio también es el mismo. Por lo tanto, permanece en una órbita estable. Uno puede obtener esto directamente de $v_1=\sqrt{\frac{GM_\star}{R}}$también.

¿Qué pasaría si la masa estuviera en reposo y fuera capturada? Bueno, entonces por conservación del momento lineal, la velocidad disminuiría a$v_2$. Dado que la velocidad disminuyó, entrará en una órbita elíptica. Si la velocidad hubiera aumentado, la órbita podría ser elíptica, pero también puede ser hiperbólica (mayor que la velocidad de escape) y salir del sistema. Esto depende de la relación de masa.

Si la masa central no fue fija, entonces las masas orbitan alrededor del centro de masa (baricentro), y la velocidad angular orbital viene dada por$\omega=\sqrt{\frac{G\mu}{R^3}}$(Tenga en cuenta que estoy usando la velocidad angular en este caso, ya que la estrella y el planeta tendrán velocidades diferentes).$R$es la distancia entre los objetos, y$\mu=\frac{MM_\star}{M+M_\star}$es la masa reducida. Uno puede ver que puede suceder toda una variedad de cosas, dependiendo de cómo agregue la masa pequeña y de la proporción entre las tres masas. Es posible que desee analizar esto usted mismo (ya que no es parte de la pregunta y es un ejercicio bastante interesante)

La órbita de un planeta es independiente de la masa, siempre que la masa sea pequeña en comparación con la estrella alrededor de la cual orbita, es decir, no cambia significativamente el centro de masa del sistema estrella-planeta. Entonces, cambiar la masa en una cantidad pequeña en comparación con la masa de la estrella hará poca diferencia.

Los planetas obviamente mueven un poco su estrella, porque así fue como se descubrieron los primeros planetas extrasolares, es decir, observando que su estrella se movía mientras el planeta orbitaba alrededor de ella. Sin embargo, este efecto es bastante pequeño a menos que estemos hablando de un planeta del tamaño de Júpiter que orbita muy cerca de la estrella.

Supongo que la masa se agrega con la misma velocidad que el planeta.

Considere primero el caso donde la masa del planeta puede ser grande. Dejar${\bf r}$Sea la posición relativa y$\mu = \frac{M m}{M+m}$Sea la masa reducida. La segunda ley toma la forma

$$\mu \ddot {\bf r} = {\bf F}_{\mathrm{int}} = -\frac{G M m}{r^3} {\bf r},$$ entonces $$\ddot {\bf r}= -\left(1+\frac{m}{M}\right) \frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$

Por el bien del argumento, suponga que la órbita es inicialmente circular. Uno puede ver que si$m$aumenta, los cuerpos tenderán a estar más juntos. (Creciente$m$es de hecho equivalente a aumentar$G$.) La órbita se volverá elíptica.

Del mismo modo, si$m$disminuye, los cuerpos tenderán a estar más separados. De hecho, las órbitas se volverán más circulares. El planeta nunca escapará.

Si la masa inicial y final del planeta son despreciables,

$$\ddot {\bf r}= -\frac{G M}{r^3} {\bf r}.$$ Por lo tanto, el movimiento del planeta no se ve afectado por la adición de masa. Por supuesto, esto es sólo el principio de equivalencia.

Haré un dibujo para ilustrar esto más adelante.

El movimiento en el campo de gravedad central se describe mediante la siguiente ecuación:

$$\frac{M\dot{r}^2}{2} - \frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{2r^2} = E = \text{const} \qquad (1)$$ dónde $$\alpha = M_\text{star}G$$ $$\beta = \frac{L_z}{M} = \frac{[\vec{r}\times\vec{v}]_z}{M} = \text{const}$$

Cuando la masa del planeta$M$se incrementa por$m$sin cambio de la velocidad, la ecuación (1) se convierte en

$$\frac{(M+m)\dot{r}^2}{2} - \frac{(M+m)\alpha}{r} + \frac{(M+m)\beta^2}{2r^2} = E + \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0} = \text{const}$$ dónde $v_0$y $r_0$son la velocidad y la posición del planeta en el momento en que cambia su masa.

La energía potencial efectiva

$$U(r) = -\frac{M\alpha}{r} + \frac{M\beta^2}{r^2}$$ se escala por el factor $(1+m/M)$pero no cambia cualitativamente.

La energía total para el movimiento finito es negativa, es decir$E<0$.

La nueva trayectoria depende del cambio de energía.

$$\Delta E = \frac{mv_0^2}{2} - \frac{m\alpha}{r_0}$$

Si$E + \Delta E \geq 0$luego la trayectoria se vuelve infinita y el planeta se va volando. De lo contrario, permanece en la órbita.

Uno puede encontrar el cambio de la órbita comparando los factores$(1+m/M)$y$(1+\Delta E / E)$.