Energía eléctrica del momento dipolar

Convencionalmente se define la energía eléctrica como

$$U = \frac{1}{2} \int \vec{E}(r') \cdot \vec{E}(r') d^3 x'$$ dónde$\vec{E}$es un campo eléctrico.

Y de un libro de texto como Griffith, sabemos que el campo eléctrico generado por el dipolo se da como

$$\vec{E}_{dipole}(r) = \frac{1}{4\pi} \frac{1}{r^3}(3 (\vec{p} \cdot \hat{r}) \hat{r} - \vec{p} )$$ Estoy tratando de conectar esto y obtener una fórmula explícita para la energía eléctrica.$U$.

Creo que el resultado debería estar en algún libro de texto o documentos, pero no pude encontrarlo.

¿Conoces la fórmula?

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El propósito de esta pregunta es en realidad calcular el$U$con$\vec{E}$.

mi juicio fue

$$U = \frac{1}{2} \frac{1}{16 \pi^2} \int \frac{1}{r^6} \left( 3 (\vec{p}\cdot \hat{r})^2 - \vec{p}\cdot\vec{p} \right) r^2 dr\sin(\theta) d\theta d\varphi$$

$$= - \frac{1}{32\pi r^3} \int_{0}^{\pi} \left( 3 (\vec{p} \cdot \hat{r})^2 - (\vec{p}\cdot \vec{p}) \right) \sin(\theta) d\theta$$