Qué simetría para qué función de distancia

Question

Qué simetría para qué función de distancia

Wang Xin

Para evaluar el campo eléctrico de alguna distribución de carga se puede usar

ϕ (r) := \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (r^{'})}{| | r - r^{'} | |_{2}} d r^{'} .

$\phi(r):= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(r')}{||r-r'||_2} dr'.$

Mi pregunta es: ¿Qué simetría necesitamos tener para que podamos escribir en coordenadas esféricas?

| | r - r^{'} | |_{2} = \sqrt{| | r | |_{2}^{2} + | | r^{'} | |_{2}^{2} - 2 | | r | |_{2} | | r^{'} | |_{2} porque (θ^{'})} ?

$||r-r'||_2 = \sqrt{||r||_2^2+||r'||_2^2-2||r||_2||r'||_2\cos(\theta')}~?$

Esta no es, por supuesto, la forma más general de expresar esta distancia, ya que el $\phi$ falta la dependencia. Entonces, ¿bajo qué condiciones se puede expresar así la distancia?

Darse cuenta de $\theta'$ es el ángulo respectivo en coordenadas esféricas, por lo que NO es el ángulo entre $r$ y $r'$ .

Entonces, en particular, su respuesta debería aclarar por qué podemos evaluar, por ejemplo, el potencial eléctrico de una esfera integrando:

\frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} \frac{ρ (r^{'}) | | r^{' 2} | | s i norte (θ^{'})}{\sqrt{| | r | |_{2}^{2} + | | r^{'} | |_{2}^{2} - 2 | | r | |_{2} | | r^{'} | |_{2} porque (θ^{'})}} d | | r^{'} | |_{2} d θ^{'} d ϕ^{'},

$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^{\infty} \frac{\rho(r')||r'^2|| sin(\theta')}{\sqrt{||r||_2^2+||r'||_2^2-2||r||_2||r'||_2\cos(\theta')}}d||r'||_2 d\theta'd\phi',$ pero necesita referirse a una ecuación más general en este ejemplo, donde el

ϕ

$\phi$ ángulo también se usa: ejercicio 14b)

pppqqq

No estoy seguro de entender la pregunta, así que dejaré un comentario. Primero el

ϕ

$\phi$ es el potencial electrostático para una distribución estacionaria de cargas

ρ

$\rho$ . La fórmula para la distancia es simplemente el teorema del coseno, que se demuestra en los Elementos de Euclides :-) ¿Cómo se define

| | r - r^{'} | |_{2}

$||r-r'||_2$ ?

Wang Xin

| | r - r^{'} | |_{2} = \sqrt{(x - x^{'})^{2} + (y - y^{'})^{2} + (z - z^{'})^{2}}

$||r-r'||_2 = \sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}$ .

Valter Moretti

Se supone que o bien

r

$r$ se dirige a lo largo

z

$z$ o eso

θ^{'}

$\theta'$ es el ángulo entre

r

$r$ y

r^{'}

$r'$ y no el ángulo polar.

pppqqq

Intente echar un vistazo a en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines - Como señala V.Moretti, tal vez su confusión surja del hecho de que

θ^{'}

$\theta '$ en la fórmula es el ángulo entre

r

$r$ y

r^{'}

$r'$ ... en ese caso, la ley de los cosenos es el teorema.

Wang Xin

@V.Moretti ah, entonces funciona para la esfera, porque en ese caso, el potencial en

z -

$z-$ dirección es la misma que en cualquier otra dirección?

Wang Xin

@pppqqq en realidad no, se suponía que denotaba el

θ

$\theta$ que conoces a partir de coordenadas esféricas.

pppqqq

Ah, ya veo. Entonces, está buscando una simetría en la distribución que le permita evaluar la integral como si

r

$r$ estaba a lo largo del

z

$z$ -eje. No estoy seguro de que exista tal distribución... ¡Veré si puedo encontrar una prueba!

nikos m.

La respuesta/comentario de pppqqq es correcto, este es el teorema de los cosenos, ya que es una tarea, ¿quizás esto está en un espacio euclidiano bidimensional? Además

ϕ

$\phi$ no está involucrado en la distancia entre r1 y r2, esto es solo una distancia vectorial entre 2 vectores. La simetría es simetría esférica (que se mantiene ya que la radiación se expande de forma esférica, "espacio homogéneo")

Wang Xin

@NikosM. ¡La intersección entre mi pregunta y tu respuesta está vacía!

Wang Xin

@ V.Moretti, ¿podría explicar un poco más lo que quiso decir con: r tiene que ser dirigido a lo largo del

z -

$z-$ ¿eje? Es decir, si calculo el campo eléctrico

mi (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (r^{'})}{| | r - r | |} (r - r^{'}) ?

$E(r)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(r')}{||r-r||}(r-r')?$ Obtuve la respuesta correcta y este campo no es solo el que está en el

z -

$z-$ eje sino el campo derecho en todo el espacio.

Valter Moretti

No sé: reconozco que no puedo entender tu pregunta original ya que

| | r - r^{'} | |_{2} = \sqrt{| | r | |_{2}^{2} + | | r^{'} | |_{2}^{2} - 2 | | r | |_{2} | | r^{'} | |_{2} \cos (θ^{'})}

$||r-r'||_2 = \sqrt{||r||_2^2+||r'||_2^2-2||r||_2||r'||_2\cos(\theta')}$ es válido para cada

r, r^{'}

$r,r'$ sólo si

θ^{'}

$\theta'$ es el ángulo entre

r

$r$ y

r^{'}

$r'$ .

Wang Xin

@V.Moretti no

θ^{'}

$\theta'$ NO es el ángulo entre estos dos vectores, es el componente del ángulo del segundo (

r = (| | r | |, θ, ϕ)

$r = (||r||,\theta, \phi)$ y

r^{'} = (| | r^{'} | |, θ^{'}, ϕ^{'})

$r'= (||r'||,\theta',\phi')$ )

Respuestas (1)

Qué simetría para qué función de distancia

No estoy seguro de entender la pregunta, así que dejaré un comentario. Primero el $\phi$ es el potencial electrostático para una distribución estacionaria de cargas $\rho$ . La fórmula para la distancia es simplemente el teorema del coseno, que se demuestra en los Elementos de Euclides :-) ¿Cómo se define $||r-r'||_2$ ?
Se supone que o bien $r$ se dirige a lo largo $z$ o eso $\theta'$ es el ángulo entre $r$ y $r'$ y no el ángulo polar.
Intente echar un vistazo a en.wikipedia.org/wiki/Law_of_cosines - Como señala V.Moretti, tal vez su confusión surja del hecho de que $\theta '$ en la fórmula es el ángulo entre $r$ y $r'$ ... en ese caso, la ley de los cosenos es el teorema.
@V.Moretti ah, entonces funciona para la esfera, porque en ese caso, el potencial en $z-$ dirección es la misma que en cualquier otra dirección?
@pppqqq en realidad no, se suponía que denotaba el $\theta$ que conoces a partir de coordenadas esféricas.
Ah, ya veo. Entonces, está buscando una simetría en la distribución que le permita evaluar la integral como si $r$ estaba a lo largo del $z$ -eje. No estoy seguro de que exista tal distribución... ¡Veré si puedo encontrar una prueba!
La respuesta/comentario de pppqqq es correcto, este es el teorema de los cosenos, ya que es una tarea, ¿quizás esto está en un espacio euclidiano bidimensional? Además $\phi$ no está involucrado en la distancia entre r1 y r2, esto es solo una distancia vectorial entre 2 vectores. La simetría es simetría esférica (que se mantiene ya que la radiación se expande de forma esférica, "espacio homogéneo")
@NikosM. ¡La intersección entre mi pregunta y tu respuesta está vacía!
@ V.Moretti, ¿podría explicar un poco más lo que quiso decir con: r tiene que ser dirigido a lo largo del $z-$ ¿eje? Es decir, si calculo el campo eléctrico $mi (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (r^{'})}{| | r - r | |} (r - r^{'}) ?$ $E(r)= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(r')}{||r-r||}(r-r')?$ Obtuve la respuesta correcta y este campo no es solo el que está en el $z-$ eje sino el campo derecho en todo el espacio.
No sé: reconozco que no puedo entender tu pregunta original ya que $||r-r'||_2 = \sqrt{||r||_2^2+||r'||_2^2-2||r||_2||r'||_2\cos(\theta')}$ es válido para cada $r,r'$ sólo si $\theta'$ es el ángulo entre $r$ y $r'$ .
@V.Moretti no $\theta'$ NO es el ángulo entre estos dos vectores, es el componente del ángulo del segundo ( $r = (||r||,\theta, \phi)$ y $r'= (||r'||,\theta',\phi')$ )

Valter Moretti · Answer 1

la respuesta es que $\rho$ debe ser esféricamente simétrica (condición necesaria y suficiente).

Para mostrarlo, permítanme cambiar la notación. Ahora $r$ anuncio $r'$ son los valores absolutos de los vectores $\vec{r}$ , $\vec{r'}$ y sabemos que

\begin{matrix} (0) & ϕ (\vec{r}) := \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{r^{'}} | |_{2}} d r^{'} . \end{matrix}

$\phi(\vec{r}):= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{r}-\vec{r'}||_2} dr'.\tag{0}$ dónde

\begin{matrix} (1) & | | \vec{r} - \vec{r^{'}} | |_{2} = \sqrt{r^{2} + {r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} porque (θ^{'})}, \end{matrix}

$||\vec{r}-\vec{r'}||_2 = \sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'\cos(\theta')}\tag{1}\:,$

θ^{'}

$\theta'$ siendo el ángulo polar de

\vec{r^{'}}

$\vec{r'}$ .

De la teoría general sabemos que también se cumple

\begin{matrix} (2) & ϕ (\vec{r}) := \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{r^{'}} | |} d r^{'} \end{matrix}

$\phi(\vec{r}):= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{r}-\vec{r'}||} dr'\tag{2}$ dónde

\begin{matrix} (3) & | | \vec{r} - \vec{r^{'}} | | = \sqrt{r^{2} + {r^{'}}^{2} - 2 r r^{'} porque (α)}, \end{matrix}

$||\vec{r}-\vec{r'}|| = \sqrt{r^2+{r'}^2-2rr'\cos(\alpha)}\tag{3}\:,$

α

$\alpha$ siendo el ángulo entre

\vec{r^{'}}

$\vec{r'}$ y

\vec{r}

$\vec{r}$ . Comparando (1) y (3), concluimos que

ϕ (\vec{r}) = ϕ (r {\vec{mi}}_{z}) = F (r)

$\phi(\vec{r})= \phi(r \vec{e}_z)= f(r)$ En consecuencia tenemos que

ϕ (\vec{r}) = F (r) .

$\phi(\vec{r}) = f(r)\:.$ Dado que, para alguna constante que depende del sistema de unidades,

κ Δ ϕ (\vec{r}) = ρ (\vec{r})

$\kappa \Delta \phi(\vec{r}) = \rho(\vec{r})$ , tenemos eso

ρ (\vec{r}) = k Δ F (r) .

$\rho(\vec{r}) = \kappa \Delta f(r)\:.$ En otras palabras

ρ

$\rho$ necesariamente debe ser una función esféricamente simétrica.

La condición encontrada también es suficiente. De hecho, si $\rho$ es esféricamente simétrico, utilizando la invariancia rotacional de la medida y la distancia estándar, surge fácilmente que el lado derecho de (2) se puede reescribir como el lado derecho de (0):

ϕ (\vec{r}) := \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{r^{'}} | |} d r^{'} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{R r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{R r^{'}} | |} d R r^{'} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{R r^{'}} | |} d r^{'} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{R^{- 1} r} - \vec{r^{'}} | |} d r^{'} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | r {\vec{mi}}_{z} - \vec{r^{'}} | |} d r^{'} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{R^{3}} \frac{ρ (\vec{r^{'}})}{| | \vec{r} - \vec{r^{'}} | |_{2}} d r^{'} .

$\phi(\vec{r}):= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{r}-\vec{r'}||} dr' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{Rr'})}{||\vec{r}-\vec{Rr'}||} dRr'= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{r}-\vec{Rr'}||} dr'= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{R^{-1}r}-\vec{r'}||} dr' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||r\vec{e}_z-\vec{r'}||} dr' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{\rho(\vec{r'})}{||\vec{r}-\vec{r'}||_2} dr'\:.$

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Valter Moretti

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