FTOA: Sea f(z)=|anzn+..+a1z+a0|f(z)=|anzn+..+a1z+a0|f(z) = |a_nz^n + .. + a_1z + a_0|. Muestre que f(z)f(z)f(z) tiene un minimizador z∗z∗z^* y la suma compleja converge para |z|→∞|z|→∞|z| \rightarrow \infty

Por la desigualdad triangular, tenemos

$$\left| \left(a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n}\right) - a_n \right| \leq \left| \frac{a_{n-1}}{z} \right| + \ldots+ \left| \frac{a_0}{z^n} \right|. \tag{1}$$

Dejar$a := \max\{|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|\}$, entonces$(1)$espectáculos

$$\left| \left(a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n}\right) - a_n \right| \leq \frac{n \cdot a}{|z|}$$

para cualquier$|z| \geq 1$. Alquiler$|z| \to \infty$encontramos

$$\left| \left(a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n}\right) - a_n \right| \to 0$$

es decir

$$\left(a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n}\right) \to a_n. \tag{2}$$

Esto prueba la primera afirmación. Por definición,

$$f(z) = \left|z^n \cdot \left(a_n + \frac{a_{n-1}}{z} + \ldots + \frac{a_0}{z^n}\right) \right|$$

y por lo tanto$(2)$implica$f(z) \to \infty$como$|z| \to \infty$. En particular, podemos elegir una arbitraria$z_0 \in \mathbb{C}$y encontrar$R \geq 0$tal que$f(z) \geq f(z_0)$para cualquier$|z| \geq R$. Desde$f$es continua, por lo tanto alcanza su mínimo en conjuntos compactos, existe$z^\ast \in \mathbb{C}$,$|z^\ast| \leq R$, tal que

$$f(z^{\ast}) = \min_{z \in \mathbb{C}} f(z)$$