Frecuencia de las inversiones para maximizar los rendimientos (y minimizar las tarifas)

Bien, ¡creo que logré encontrar la respuesta precisa a este problema!

Implica resolver una ecuación exponencial no lineal, pero también encontré una buena solución aproximada utilizando la serie de Taylor truncada. Vea a continuación una hoja de cálculo que puede usar.

Encontrar el valor futuro:

Empecemos definiendo los factores de crecimiento por periodo, para dinero en el banco y dinero invertido:

Ahora, sea S la cantidad lista para ser invertida después de n +1 periodos; por lo que la primera parte de ese dinero ha devengado intereses durante n periodos. Es decir,

El paso clave para resolver el problema fue fijar el número total de períodos considerados. Así que vamos a introducir una nueva variable:

t = el número total de períodos de tiempo transcurridos

Entonces, si el dinero está listo para invertir cada n +1 períodos, habrá ^t / _{( n +1)} inversiones separadas, y el valor futuro de las inversiones será:

Esta fórmula es exacta en el caso de números enteros t y n , y una buena aproximación cuando t y n no son números enteros. Sustituyendo S , obtenemos la versión de la fórmula que depende explícitamente de n :

Derivada del valor futuro con respecto a n :

Afortunadamente, solo un par de términos en FV dependen de n , por lo que podemos encontrar la derivada después de un poco de esfuerzo:

Maximizando el valor futuro:

Igualando la derivada a cero, podemos quitar el denominador, y suponiendo que t es mayor que cero, podemos dividir por la constante ( 1- G ^t ):

Para simplificar la ecuación, podemos definir algunas constantes adicionales:

Entonces, podemos definir una función f ( n ) y escribir la ecuación como:

Tenga en cuenta que α , β , γ , G y R son todos constantes.

Soluciones:

A partir de aquí hay dos opciones:

1. Use el método de Newton u otro método numérico para encontrar la raíz positiva de f ( n ). Esto se puede hacer en varios paquetes de software como MATLAB, Octave, etc., o usando una calculadora gráfica.

2. Resuelve aproximadamente usando un polinomio de serie de Taylor truncado. Usaré este método aquí.

Aproximando la solución con una serie de Taylor:

La serie de Taylor de f ( n ), centrada alrededor de n =0, es:

Truncando la serie a los tres primeros términos, obtenemos un polinomio cuadrático (con coeficientes constantes):

Solución aproximada de forma cerrada:

Usando R , G , α , β y γ definidos anteriormente, sean c ₀ , c ₁ y c ₂ los coeficientes de la serie de Taylor truncada para f ( n ):

Después,

n debe redondearse al número entero más cercano. Para estar seguro, verifique los valores por encima y por debajo de n usando la fórmula para FV .

Ejemplo:

Usando el ejemplo de la pregunta:

Por ejemplo, podría reservar $100 cada semana para invertir en una acción con un crecimiento esperado del 9 % anual, pero las tarifas de corretaje son de $10 por operación. ¿Durante cuántas semanas debo acumular los $100 antes de invertir, si puedo depositarlos en mi cuenta bancaria de alto interés al 4% anual hasta entonces?

Usando el método de Newton para encontrar las raíces de f ( n ) arriba, obtenemos n = 14.004.

Usando la solución aproximada de forma cerrada, obtenemos n = 14.082.

Verificando esto contra el FV con t = 1680 (divisible uniformemente por cada n + 1 probado):

• Cuando n = 13, VF = $903.861,85
• Cuando n = 14, VF = $903.891,13
• Cuando n = 15, VF = $903.865,89

Por lo tanto, debe esperar n = 14 períodos, manteniendo ese dinero en el banco, invirtiéndolo junto con el dinero en el próximo período (por lo que hará una inversión cada 14 + 1 = 15 semanas).

Hoja de cálculo:

Aquí hay una forma de implementar la solución anterior con una hoja de cálculo. StackExchange no permite tablas en su sintaxis en este momento, así que mostraré una captura de pantalla de las fórmulas y columnas que puede copiar y pegar:

Fórmulas:

Copie y pegue la columna A:

s
d
r
g
b
.
R
G
alpha
beta
gamma
.
c0
c1
c2
.
n (unrounded)
n
.
t (periods)
FV(n-1)
FV(n)
FV(n+1)

Copie y pegue la columna B:

=100
=1/52
=0.04
=0.09
=10
.
=(1+B3/12)^(12*B2)
=(1+B4)^B2
=(B1-B5+B5*B7)*LN(B8)
=B1*LN(B8/B7)
=B1*LN(B7)
.
=0.5*(B9*B8/B7*LN(B8/B7)^2-B10*B8*LN(B8)^2)
=B9*B8/B7*LN(B8/B7)-B10*B8*LN(B8)
=B9*B8/B7-B10*B8-B11
.
=SQRT(B14^2-4*B13*B15)/(2*ABS(B13))-B14/(2*B13)
=ROUND(B17,0)
.
=LCM(B18+1,B18+1-1,B18+1+1)
=(B1*(1-B7^(B18-1+1))-B5*(1-B7))*(1-B8^B20)/((1-B7)*(1-B8^(B18-1+1)))
=(B1*(1-B7^(B18+1))-B5*(1-B7))*(1-B8^B20)/((1-B7)*(1-B8^(B18+1)))
=(B1*(1-B7^(B18+1+1))-B5*(1-B7))*(1-B8^B20)/((1-B7)*(1-B8^(B18+1+1)))

Resultados:

Recuerda, n es el número de periodos para acumular dinero en el banco. Entonces querrás invertir cada n +1 semanas; en este caso, cada 15 semanas.

Wow, esto resulta ser un problema mucho más difícil de lo que pensé al verlo por primera vez.

Reformulemos algunas de las variables para simplificar un poco las ecuaciones. Sea rb la tasa de crecimiento del dinero en su banco durante un período. Por "tasa de crecimiento" me refiero a la cantidad que tendrá después de un período. Entonces, si la tasa de interés es del 3 % anual pagada mensualmente, entonces el interés de un mes es 3/12 del 1 % = 0,25 %, por lo que después de un mes tienes 1,0025 veces más dinero del que tenías al principio. De manera similar, sea si la tasa de crecimiento de la inversión.

Luego, después de hacer un depósito, la cantidad que tienes en el banco es pb = s. Después de otro depósito, ha cobrado intereses sobre el primero, por lo que tiene pb = s * rb + s. Es decir, el primer depósito con el crecimiento de un periodo más el segundo depósito. Un depósito más y tienes pb = ((s * rb) + s) * rb + s = s + s * rb + s * rb^2. Etc. Así que después de n depósitos tienes pb = s + s * rb + s * rb^2 + s * rb^3 + ... + s * rb^(n-1). Esto se simplifica a pb = s * (rb^n - 1)/(rb - 1).

De manera similar, para la cantidad que obtendría al depositar en la inversión, llamemos pi, excepto que también debe restar la cantidad de la tarifa del corredor, b.

Así que quiere hacer depósitos cuando

pb>pi, o s*(ri^n-1)/(ri-1) - b > s*(rb^n-1)/(rb-1)

¡Luego solo resuelve para n y listo! Excepto... tal vez alguien que sea mejor en álgebra que yo podría resolver eso para n, pero no veo cómo hacerlo.

Para complicar aún más esto, los bancos normalmente pagan intereses mensualmente, mientras que las acciones suben o bajan todos los días. Si un cálculo decía retirarse después de 3,9 meses, realmente sería mejor esperar 4,0 meses para cobrar el interés de un mes adicional.

Pero veamos si podemos aproximarnos. Si las tasas de crecimiento y el número de períodos son relativamente pequeños, la composición del crecimiento también debería ser relativamente pequeña. Entonces, una solución aproximada sería cuando la diferencia entre las tasas de interés, multiplicada por el monto de cada depósito, sumadas sobre el número de depósitos, es mayor que la tarifa. Es decir, supongamos que la inversión paga un 10% mensual más que su cuenta bancaria (muy optimista pero solo por ejemplo), la tarifa del corredor es de $10 y el monto de cada depósito es de $200. Entonces, si retrasa la inversión un mes, perderá el 10 % de $200 = $20. Esto es más que la tarifa del corredor, por lo que debe invertir de inmediato. Bien, supongamos de manera más realista que la inversión paga un 1% más por mes que la cuenta bancaria. Entonces el primer mes estás perdiendo 1% de $200 = $2. El segundo mes tienes $400 en el banco, entonces estás perdiendo $4, pérdida total por dos meses = $6. El tercer mes tiene $ 600 en el banco, por lo que pierde $ 6 adicionales, pérdida total = $ 12. Etc. Así que deberías transferir el dinero a la inversión sobre el tercer mes.

La capitalización significaría que las pérdidas en la transferencia a la inversión son un poco más altas que esto, por lo que le conviene inclinarse hacia la transferencia un poco antes.

O bien, puede configurar una hoja de cálculo para hacer los cálculos de capitalización mes a mes, y luego simplemente mirar hacia abajo en la columna para ver cuándo el total de la inversión menos el total del banco es mayor que la tarifa del corredor.

Lo siento, no te estoy dando una respuesta definitiva, pero tal vez esto ayude.

El problema no es difícil de calcular, pero es difícil producir una fórmula para él. Por ejemplo, si está ahorrando $ 100 por mes e invirtiendo cada nmonto ahorrado.

amount put aside every month                s = 100
effective bank rate of 5% to monthly rate   r = (1 + 0.05)^(1/12) - 1
effective stock rate of 10% to monthly      g = (1 + 0.10)^(1/12) - 1
brokerage fee per trade                     b = 65

saved value after n months      a = x[n] = (s ((1 + r)^(n + 1) - 1))/r
invested value after n months       z[n] = (a - b) (1 + g)^n

Con cantidades de longitud de ciclo n = 5antes de invertir, un esquema se ve así:

Cada monto de inversión en intervalos de cinco meses es de $ 439.09, que se muestra mediante cálculos de ejemplo.

100 (1 + r)^4 + 100 (1 + r)^3 + 100 (1 + r)^2 + 100 (1 + r) + 100 - 65 = 439.09

n = 5
a = x[n - 1] = 504.09

z[0] = 439.09

El esquema muestra las inversiones que se extienden solo durante 19 meses.

El total de inversiones a 60 meses, incluyendo los $100 apartados en el mes 60, es de $6769.86, es decir

For j = 60, 55, 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0

If[j < n, x[j], z[j - n + 1]]

final values = 685.05, 658.37, 632.74, 608.11, 584.43, 561.68,
               539.81, 518.79, 498.59, 479.18, 460.52, 442.59, 100

Total = 6769.86

Mirando un rango de ciclos de duración, todos hasta 60 meses, los totales son erráticos.

Tenga en cuenta jque se toma del máximo, por lo que para inversiones de más de, digamos, 62 meses

j = 62, 57, 52, 47, 42, 37, 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2

La extensión por 600 meses suaviza la curva dando un claro óptimo de n = 18. Lo mismo npor 6000 meses; la curva ahora es estática (aunque los totales cambian). El recálculo se puede realizar para diferentes tasas de interés, monto periódico y comisión de corretaje.

Sin embargo, como se mencionó, producir una fórmula para lo óptimo nno es tan fácil.

Se puede obtener una expresión para el total en cada uno n, por ejemplo, con

max = 60
n   = 5
d   = Quotient[max, n] = 12   (the integer quotient of max and n)
e   = Mod[max, n] = 0

(s ((1 + r)^(e + 1) - 1) -
   ((1 + g)^(e + 1) ((1 + g)^(d n) - 1) (b r + s - (1 + r)^n s))/
    ((1 + g)^n - 1))/r = 6769.86

Aplicando esto a la pregunta de demostración del OP

Por ejemplo, podría reservar $100 cada semana para invertir en una acción con un crecimiento esperado del 9 % anual, pero las tarifas de corretaje son de $10 por operación. ¿Durante cuántas semanas debo acumular los $100 antes de invertir, si puedo depositarlos en mi cuenta bancaria de alto interés al 4% anual hasta entonces?

Tomando la tasa bancaria como nominal capitalizable mensualmente y la tasa bursátil como efectiva.

El monto invertido al acumular cada 15 montos es

((1 + r)^14 + (1 + r)^13 + (1 + r)^12 +
 (1 + r)^11 + (1 + r)^10 + (1 + r)^9 +
 (1 + r)^8  + (1 + r)^7  + (1 + r)^6 +
 (1 + r)^5  + (1 + r)^4  + (1 + r)^3 +
 (1 + r)^2  + (1 + r) + 1) s - b = 1498.09