Fórmula cerrada para [H^,[H^,...[H^,c^†μ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^μ, σ†]]...]][\sombrero{H},[\sombrero{H},...[\sombrero{H},\sombrero{c}^\daga_{\mu,\sigma}]] ...]]

Dada la parte de interacción de un hamiltoniano general de muchos cuerpos,

H ^ = ∑ α , β , γ , d , σ , σ ′ O α , γ , σ β , d , σ ′ C ^ α , σ † C ^ β , σ ′ † C ^ d , σ ′ C ^ γ , σ ,
yo defino
C ^ 1 = [ H ^ , C ^ m , σ ] ,
C ^ norte = [ H ^ , C ^ norte − 1 ]   para cada   norte > 1.

Me preguntaba si hay alguna fórmula cerrada para C norte , o al menos una relación de recurrencia más agradable. C 1 y C 2 son fáciles de calcular. también he calculado C 3 , ¡lo cual ya es un cálculo bastante largo y desordenado! Pero no he visto ningún patrón y no he podido escribir una expresión general para C norte . ¿Es esto algo conocido? ¿Es posible hacer esto?

Esto puede estar relacionado con la identidad Baker-Campbell-Hausdorff: en.wikipedia.org/wiki/…
Pasé un tiempo jugando con eso, pero no llegué a ninguna parte: solo recuperé nuevas relaciones recursivas no lineales que no fueron más fáciles.

Respuestas (1)

Pista: Esta es una forma retorcida de poner la teoría de la perturbación en la imagen de Heisenberg.

  1. Defina un conjunto de operadores generadores como

    GRAMO ^ m σ ( z ) = ∑ norte = 0 ∞ z norte norte ! [ H ^ , [ H ^ , . . . [ H ^ , C ^ m , σ † ] ] . . . ] ] ⏟ norte el − conmutador anidado de orden   = BCH   mi z H ^ C ^ m , σ † mi − z H ^
    y
    GRAMO ¯ ^ m σ ( z ) = ∑ norte = 0 ∞ z norte norte ! [ H ^ , [ H ^ , . . . [ H ^ , C ^ m , σ ] ] . . . ] ] ⏟ norte el − conmutador anidado de orden   = BCH   mi z H ^ C ^ m , σ mi − z H ^ .

  2. Aviso

    d d z GRAMO ^ m σ ( z )   =   [ H ^ , GRAMO ^ m σ ( z ) ]
    y
    d d z GRAMO ¯ ^ m σ ( z ) = [ H ^ , GRAMO ¯ ^ m σ ( z ) ] .

  3. Usar relaciones de conmutación/anticonmutación.

  4. Integrar las ecuaciones resultantes entre [ 0 , z ] e iterar para encontrar los coeficientes de expansión de Taylor de GRAMO ^ m σ ( z ) y GRAMO ¯ ^ m σ ( z ) .

  5. Comprueba si puedes encontrar algún patrón.

Eso parece una buena idea; el mío con el BCH fue similar. Pero no saco nada de eso, solo voy en círculos recuperando las definiciones. ¿Fue simplemente una sugerencia rápida o realmente sabe que realmente puede resolver el problema con este enfoque?
@Qwertuy Esta sugerencia es bastante rápida (la intuición proviene del método de ecuación de movimiento en los métodos de función de Green, las expansiones de árboles en QFT, métodos de diagramas perturbadores más generales para resolver ecuaciones no lineales). Aunque no tengo la respuesta explícita.
Fórmula cerrada para [H^,[H^,...[H^,c^†μ,σ]]...]][H^,[H^,...[H^,c^μ, σ†]]...]][\sombrero{H},[\sombrero{H},...[\sombrero{H},\sombrero{c}^\daga_{\mu,\sigma}]] ...]]
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