Transformación de Bogoliubov con un ligero giro.

Este es un problema de valores propios.

Supongamos que su transformación de Bogoliubov es de la forma:$(a_k,b_k)^T=X(c_k,d_k)^T$. Lo que hace esta transformación es dejar que su hamiltoniano se convierta en:$H_k=w_1c_k^\dagger c_k+w_2 d_k^\dagger d_k$, con la relación anti-conmutación válida para los nuevos operadores de campo$c_k$y$d_k$.

Ahora puedes comprobar que$X$es solo la matriz donde sus columnas son solo los vectores propios normalizados de su matriz original.

Solo me gustaría señalar que el hamiltoniano dado no requiere una transformación de Bogoliubov para ser diagonalizado, ya que tiene la forma de un operador de una sola partícula (sin embargo, en la segunda cuantización), es decir, no contiene términos 'fuera de la diagonal' de la forma$a a$,...

Simplemente puede diagonalizarlo diagonalizando la matriz de acoplamiento.

@leongz: aunque esta matriz también es hermitiana para el verdadero caso de Bogoliubov, generalmente obtendrá la respuesta incorrecta para las energías propias y los modos si la diagonaliza. Los modos resultantes no serían bosónicos, es decir, no sería una transformación canónica. Puede obtener la respuesta correcta (que es mucho más potente que el típico ansatz para los operadores de Bogoliubov) diagonalizando$\Sigma H$, dónde$\Sigma$es la pseudonorma en el espacio simplético en el que estás trabajando. Sin embargo, tenga en cuenta que esta matriz no siempre es hermitiana (y no siempre diagonalizable, pero esto es físico: falta un modo bosónico para cada modo Goldstone).

El hamiltoniano se puede escribir como

$\sum_k \psi^\dagger M \psi$

dónde$\psi=\begin{pmatrix}a_k \\ b_k\end{pmatrix}$y$M=\begin{pmatrix}\omega_0 & \Omega f_k^* \\ \Omega f_k & \omega_0\end{pmatrix}$.

Introducimos un nuevo conjunto de operadores.$\phi=\begin{pmatrix}c_k \\ d_k\end{pmatrix}$, a través de$\psi=U \phi$dónde$U$es necesariamente una matriz de 2x2. esto nos da

$\psi^\dagger M \psi = \phi^\dagger N \phi$

dónde$N = U^\dagger M U$. Deseamos que esta nueva forma del hamiltoniano sea diagonal. también conocido como deseamos la matriz$N$ser diagonal. Según el proceso estándar de diagonalización de una matriz , una matriz$M$está diagonalizado por$M \rightarrow U^\dagger M U$dónde$U$es la matriz con los vectores propios de$M$como sus columnas.

Por lo tanto, primero encontramos los vectores propios de$M$, sustituya esos como columnas en una matriz de 2x2$U$, diagonalizar$M$de modo que$N=U^\dagger M U$, entonces nuestro hamiltoniano diagonalizado es

$H=\sum_k\phi^\dagger N \phi$

dónde$\phi=U^{-1} \psi$.

Gracias a @luming y @Vladimir por los consejos.

El hamiltoniano ya está diagonalizado por el impulso. Debe definir nuevos operadores de Bose
$c_k = u_k a_k + v_k b_k \\ d_k = w_k a_k+x_k b_k$
Esta es la forma general, con algunas constantes complejas.$u_k, v_k, w_k, x_k$para cada$k$independientemente. también hay$c^+_k$y$d^+_k$, conjugado con el anterior. ahora necesitas$c_k$y$d_k$corresponden a algunas cuasi-partículas, por lo que
$[c_k, c_k^+] = 1 \\ [d_k, d_k^+] = 1 \\ \text{(all other commute to zero)}$
Esta ecuación te da alguna restricción sobre las constantes.$u_k, v_k, w_k, x_k$. Pero para encontrarlos definitivamente, debes sustituirlos por hamiltonianos. Después de eso, debe obtener
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k + C_3 c^+_k d_k + C_4 d^+_k d_k.$
constantes$C_1, C_2, C_3, C_4$derivado de$\omega_0, \Omega, f_k$y$u_k, v_k, w_k, x_k$. A continuación, debe resolver$C_3 = 0, C4 = 0$ecuaciones para obtener$u_k, v_k, w_k, x_k$. Entonces obtendrás
$H = \sum_k C_1 c^+_k c_k + C_2 d^+_k d_k,$
con encontrado$C_1, C_2$. Eso completa la diagonalización.