kitaev-honeycomb: no se puede obtener el bucle de wilson al cuadrado para producir +1

Soy nuevo aquí, me encanta este sitio web y tengo algunas dificultades con el operador wilson-loop en el modelo de panal de kitaev.

planteamiento del problema El modelo de Kitaev ( Kitaev, 2006 es el documento original) consta de espines que residen en los sitios de red de una red de panal con acoplamientos nn separados para las tres direcciones que se identifican para los enlaces. El operador de bucle de Wilson es$w_p=\sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6$, donde los índices$i \in\{1,...,6\}$índica el$6$sitios reticulares involucrados en el bucle hexagonal (ver imagen).

En el libro de Jiannis K. Pachos (Introducción a la computación cuántica topológica, 2012) el autor afirma que$(w_p)^2=1$, que estoy tratando de encontrar yo mismo. En realidad, esto no debería ser nada difícil, pero desafortunadamente estoy atascado.

intento de solución He intentado lo siguiente

$$(w_p)^2 = \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^x_1 \sigma^x_1 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = -\sigma^y_2 \sigma^y_2 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^z_3 \sigma^z_3 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = + \sigma^x_4 \sigma^x_4 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \\ = - \sigma^y_5 \sigma^y_5 \sigma^z_6 \sigma^z_6 \\ =-1$$

donde he tirado$\sigma_1$a través de primero, luego el$\sigma_2$, etc. Y he usado$\{\sigma^\alpha_i , \sigma^\beta_j \}= 2 \delta_{i,j}\delta_{\alpha,\beta} I_2$(de modo que cada intercambio de desigual$\sigma$'s da un signo menos y$\sigma^\alpha_i\sigma^\alpha_i =I_2$).

entonces obtengo$(w_p)^2=-1$, que no es lo que quería encontrar. Todo el texto sobre el tema afirma que$w_p$actuando sobre un rendimiento de configuración de celosía$w_p=\pm1$que se puede concluir fácilmente a partir de$(w_p)^2=1$(la expresión no la entendí).

Supongo que mis relaciones de conmutación no son correctas, pero no estoy seguro. ¿Quién me puede ayudar? ¡Muchas gracias de antemano!

Mejor, L.