Ecuación geodésica de variación: ¿Es equivalente lagrangiana al cuadrado?

El resultado de esta respuesta es el siguiente: si un camino satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L^2/2$, entonces satisfará las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$, pero lo contrario no se cumple a menos que la ruta tenga una parametrización afín.

Dejar$L = L(x, \dot x)$ser un lagrangiano que es una función local de solo posición y velocidad, entonces un camino parametrizado$x(s) = (x^i(s))$en$M$se dice que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$proporcionó

$$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x^i}(x(s), \dot x(s)) - \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}(x(s), \dot x(s)) = 0 \end{align}$$ para todos$i$y para todos$s$en el dominio de$x$.

Lema 1. Si$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$, entonces la identidad de Beltrami se cumple para$x$:

$$\frac{d}{ds}L(x(s), \dot x(s)) = \frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\big(x(s), \dot x(s)\big)\cdot \dot x^i(s)\right)$$

para todos$s$en el dominio de$x$.

Prueba. ¡Inténtalo tú mismo! La prueba depende del hecho de que$L$es una función local de sólo$x$y$\dot x$.

Lema 2. Si$L(x,\dot x) = \sqrt{g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j}$, entonces$L$satisface la siguiente identidad:

$$\frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot x^i}(x, \dot x) \dot x^i = L(x,\dot x)^2$$

Prueba. ¡Prueba esto tú también!

Corolario. Si$L(x,\dot x) = \sqrt{g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j}$, y$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L^2/2$, entonces$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$.

Prueba. Si$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L^2$, entonces el Lema 1 da la siguiente identidad de Beltrami (usamos taquigrafía notacional aquí -- todas las expresiones deben ser evaluadas en$x(s)$)

$$\frac{d(L^2/2)}{ds} = \frac{d}{ds} \frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot x^i}\cdot \dot x^i$$

Por otro lado, evaluando ambos lados del Lema 2 en$x(s)$, y tomando la derivada de ambos lados con respecto a$s$da

$$\frac{d}{ds} \frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot x^i}\cdot \dot x^i = \frac{d(L^2)}{ds}$$

La combinación de estos hechos muestra que$d(L^2)/ds = 0$lo que implica que$L^2$es constante a lo largo$x(s)$y por lo tanto que$L$también es constante a lo largo$x(s)$:

$$\frac{dL}{ds} = 0.$$

Ahora, notamos por separado que desde$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L^2/2$, tenemos

$$\begin{align} 0 &= \frac{\partial(L^2/2)}{\partial x^i} - \frac{d}{ds} \frac{\partial (L^2/2)}{\partial \dot x^i} \\ &= L\left(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\right) - \frac{dL}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i} \tag{$\star$}\\ &= L\left(\frac{\partial L}{\partial x^i} - \frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\right) \end{align}$$

y por lo tanto mientras$L\neq 0$, vemos eso$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$como se deseaba.

El punto crucial aquí es que debido a la forma específica de$L$, cualquier camino que satisfaga la ecuación de Euler-Lagrange para$L^2/2$tiene la hermosa propiedad de que$dL/ds = 0$a lo largo del camino. Esto permite matar el término en$(\star)$que es el término que es la diferencia esencial entre las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L^2/2$y las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$.

Sin embargo, si$x$satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange para$L$, entonces no es necesariamente el caso de que$dL/ds = 0$a lo largo de$x$, por lo que en este caso, uno no puede matar ese término en$(\star)$, por lo que no necesita ser una solución a la ecuación de Euler-Lagrange para$L^2/2$.

No obstante, si$x$está parametrizado de forma afín, entonces automáticamente tendrá la propiedad de que$L$es constante a lo largo de él, por lo que automáticamente satisfará ambas ecuaciones de Euler-Lagrange.

De hecho, utilizando partes de los cálculos anteriores, no es difícil demostrar que

Proposición. Dejar$L(x, \dot x) = \sqrt{g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j}$. Un sendero$x$es una geodésica afínmente parametrizada si y solo si resuelve las ecuaciones de Euler-Lagrange de ambos$L$y$L^2/2$.

Entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange de$L^2/2$producir todas las geodésicas parametrizadas por afinidad, mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange de$L$producir todas las geodésicas, independientemente de la parametrización.

Comentarios a la pregunta (v4):

1. La formulación de la pregunta parece hablar de parametrizaciones afines antes de aplicar el principio de acción estacionaria .

2. En el contexto de Riemann$^1$geometría, una parametrización afín de una curva (no necesariamente geodésica) significa por definición que la longitud del arco$s$y el parámetro de la curva$\lambda$están relacionados por afinidad$s=a\lambda +b$.

3. Sin embargo, no siempre es posible mantener que todos los caminos virtuales [que satisfacen las condiciones de contorno pertinentes (BC)] están parametrizados de manera afín con el mismo parámetro común$\lambda$. Tenga en cuenta, en particular, que los BC se refieren a los mismos valores iniciales y finales$\lambda_i$y$\lambda_f$para todos los caminos.

4. Por lo tanto , debe abandonarse un requisito a priori de parametrización afín de caminos virtuales.

5. También sería ilógico cualquier requerimiento parcial a priori de parametrización afín, ya que imaginamos que no conocemos las geodésicas de antemano. De hecho, eso es lo que intentamos encontrar usando el principio de acción estacionaria.

6. Definir el Lagrangiano

   $$\tag{1}L_0(x,\dot{x})~:=~ g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j~\geq~0,$$ donde punto significa diferenciación wrt. El parámetro$\lambda$.

7. Ahora la acción de la raíz cuadrada

   $$\tag{2}S[x]~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda \sqrt{L_0}$$ es invariante bajo reparametrizaciones de$\lambda$, por lo que las soluciones estacionarias para (2) con BC pertinentes serán todas las geodésicas que satisfagan las BC, independientemente de la parametrización.

8. Por otro lado, las soluciones estacionarias para la acción no raíz cuadrada

   $$\tag{3}S_0[x]~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda ~L_0$$ con los BC pertinentes solo serán todas las geodésicas parametrizadas afines que satisfagan los BC.

9. Más detalladamente, porque$L_0$en la acción (3) no depende explícitamente de$\lambda$, se puede demostrar (por ejemplo, mediante el uso del teorema de Noether ) que la función de energía

   $$\tag{4}h~:=~p_i\dot{x}^i-L_0~=~L_0, \qquad p_i~:=~\frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^i}~=~2g_{ij}(x) \dot{x}^j,$$ se conserva en la concha, es decir $$\tag{5}\dot{L}_0~\approx~ 0.$$ [Este argumento (5) no funciona para la acción invariante de reparametrización (2), donde la función de energía$h=0$desaparece de forma idéntica.]

10. (Supongamos por simplicidad que$L_0$no es cero en shell, y dejar el caso donde$L_0$es cero en el caparazón como ejercicio para el lector.) Debido a la ec. (5), una solución de las ecuaciones EL. para$L_0$es también una solución a las ecuaciones EL. para$\sqrt{L_0}$:

    $$\tag{6} \frac{d}{d\lambda}\frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial \dot{x}^i}~\stackrel{(4)}{=}~\frac{d}{d\lambda}\frac{p_i}{2\sqrt{L_0}}~\stackrel{(5)}{\approx}~\frac{\dot{p}_i}{2\sqrt{L_0}}~\stackrel{\text{EL eq.}}{\approx}~\frac{1}{2\sqrt{L_0}}\frac{\partial L_0}{\partial x^i}~=~\frac{\partial \sqrt{L_0}}{\partial x^i}.$$

11. Por el contrario, una solución de las ecuaciones EL. para$\sqrt{L_0}$no es necesariamente una solución a las ecuaciones EL. para$L_0$. Sin embargo, si dotamos a la solución de las ecs. EL. para$\sqrt{L_0}$con una parametrización afín, entonces podemos obtener la ec. (5), e invertir el argumento (6), de modo que también sea una solución de las ecuaciones EL. para$L_0$.

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$^1$En geometría pseudo-Riemanniana, con firma mixta, la situación es más complicada, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Además, existe el argumento de la raíz cuadrada$\sqrt{L_0}$puede volverse negativo.

$^2$ Terminología y notación: Ecuaciones de movimiento (EOM) significa ecuaciones de Euler-Lagrange (EL) . Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si los EOM están satisfechos o no. El$\approx$símbolo significa igualdad módulo EOM.

Después de pensar un poco en esto, me doy cuenta de que la pregunta se debió a un concepto erróneo bastante tonto, lo contrario no se mencionó en las referencias habituales porque es trivial a partir de la prueba de la dirección habitual. Para futuras referencias, incluiré una versión rápida aquí.

$$F = L^2/2$$ $$EL[F] \equiv \frac{d}{ds}(\frac{\partial}{\partial \dot{x^\mu}}F)- \frac{\partial}{\partial x^\mu}F \\ = \frac{d}{ds}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x^\mu}} L)- \frac{\partial L}{\partial x^\mu}L\\ =\left(\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x^\mu}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\right)L+ \frac{\partial L}{\partial \dot{x^\mu}} \frac{dL}{ds}\\ $$

Para la ecuación geodésica (de interés aquí) siempre es posible elegir la parametrización donde$\frac{dL}{ds}=0$, en tales parametrizaciones el último término desaparece y tenemos:

$$EL[F] = EL [L]$$ Por tanto, las ecuaciones de movimiento obtenidas son equivalentes.

Creo que hay algún tipo de error cerca del final de la primera respuesta (joshphysics), posiblemente en el paso variacional que implica la integración por partes. A menos que se hayan utilizado algunas suposiciones adicionales. De lo contrario, la conclusión implícita parece ser que EL eqns para cualquier funcional con integrando$F(x(s),\dot{x}(s))$son generalmente los mismos que para el funcional con integrando$F^2$.

[Un contraejemplo simple es$F = x(s)$, aunque me doy cuenta de que esto se está alejando de las geodésicas. Entonces la ecuación EL para$F^2$sería$x=0$mientras que la ecuación EL para$F$en sí mismo sería$1=0$.]

De todos modos, volviendo a la pregunta original, a menudo aparecen las palabras " Cauchy-Schwarz " al relacionar$\int f^2$a$\int f$.

Ignorando eso, y mirando solo las ecuaciones EL, considere minimizar/maximizar los dos funcionales$\int F^2 ds$y$\int F ds$(con el mismo parámetro y bcs), donde$F = F(x(s),\dot{x}(s))$. ¿Cuándo son estos dos problemas equivalentes (o al menos uno implica al otro)?

Las ecuaciones EL para los dos casos son generalmente diferentes (ver el contraejemplo anterior), pero una condición para la equivalencia es$dF/ds = 0$(cuando se evalúa en una solución a cualquiera de las dos ecuaciones EL).

También tenemos las identidades de Beltrami para cada caso, que son primeras integrales de las ecuaciones EL (cf conservación de energía): para$F$tenemos$\dot{x}_i\frac{\partial F}{\partial \dot{x}_i} - F = c_1$y para$F^2$tenemos$\dot{x}_i\frac{\partial (F^2)}{\partial \dot{x}_i} - F^2 = c_2$(*).

Restringiendo al problema de las geodésicas en alguna superficie, tenemos un integrando de la forma$F = \sqrt{g_{ij}(x)\dot{x}^i\dot{x}^j}$y esto satisface$\dot{x}_i \frac{\partial F}{\partial \dot{x}_i} = F$(idénticamente), y también satisface$\dot{x}_i \frac{\partial (F^2)}{\partial \dot{x}_i} = 2F^2$(+).

Supongamos que tenemos una solución a la ecuación EL para$F^2$, y por ende a la identidad Beltrami$(*)$para$F^2$. Entonces (*) y (+) juntos dan$F^2 = c_2$es decir$F$es constante cuando se evalúa en nuestra solución.
[este es esencialmente el punto 9 de la respuesta de Qmechanics] Por lo tanto, la condición de equivalencia mencionada anteriormente ($dF/ds = 0$) se cumple, por lo que la ecuación EL para$F$también está satisfecho.

Lo contrario no se sostiene en general ya que la identidad de Beltrami para tal$F$se satisface de forma idéntica (con$c_1 = 0$), por lo que no da nada "extra".