Formas cerradas de sumas de potencias racionales o reales

Question

Formas cerradas de sumas de potencias racionales o reales

suma
forma cerrada
Matemáticas
cálculo discreto
funciones especiales

Theo Diamantakis

Tengo curiosidad acerca de si una expresión de forma cerrada de

\sum_{k = 1}^{norte} k^{α}

$\sum_{k=1}^{n}k^\alpha$ para

α \in R

$\alpha \in \mathbb{R}$ existe en términos de funciones especiales. Claramente para el caso de los números naturales tenemos las fórmulas de Faulhaber, y cuando

α = - 1

$\alpha = -1$ se sabe que podemos hacer uso de la función digamma

ψ (x) := \frac{d}{d x} \log (Γ (x))

$\psi(x) := \frac{d}{dx}\log(\Gamma(x))$ para crear un análogo de

\int \frac{1}{x} d x = \log (x)

$\int\frac{1}{x} dx = \log(x)$ permitiéndonos sumar expresiones de la forma:

\sum_{k = 1}^{norte} \frac{1}{k + pag} = ψ (norte + pag + 1) - ψ (1 + pag) = ψ (norte + pag + 1) + γ - H_{pag}

$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+p} = \psi(n+p+1) - \psi(1+p) = \psi(n+p+1) + \gamma - H_p$

Dónde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni y $H_p$ el $p$ 'th Número armónico (la fórmula anterior es más bonita cuando se expresa usando los métodos de cálculo discreto, pero no quiero que esta pregunta se vuelva demasiado específica, vea Matemáticas concretas o este buen pdf para los curiosos).

¿Hay una idea un poco más general como esta? estoy mas interesado en $\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{k}$ , $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k^m}, m \in \mathbb{N}$ en vez de $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+p)^m}$ o reales arbitrarios, pero supongo que si tal generalización existe, probablemente va la milla completa.

He visto algunas identidades interesantes que involucran funciones poligamma y Hurwitz Zeta, pero no al nivel (al menos por lo que puedo ver) de dar una forma cerrada.

Raimundo Manzoni

De hecho, puede reescribir la suma zeta parcial usando la función zeta de Hurwitz :

ζ (s, norte) := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(norte + k)^{s}}

$\zeta(s,n) := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n+k)^s}$ de modo que :

\sum_{k = 1}^{norte} k^{α} = ζ (- α, 1) - ζ (- α, norte + 1)

$\sum_{k=1}^{n}k^\alpha=\zeta(-\alpha,1)-\zeta(-\alpha,n+1)$ Ver también este y este hilos.

Theo Diamantakis

Gracias, descubrí la generalización de la función poligamma.

ψ^{(m)} (z) = (- 1)^{m + 1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^{m} e^{- z t}}{1 - e^{- t}} d t

$\displaystyle \psi^{(m)} (z) = (-1)^{m+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^m e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$ proporciona una representación adecuada que luego se puede escribir como una función zeta de Hurwitz. Esos enlaces definitivamente son útiles para cualquier otra persona que vea esto.

Anixx

Los números armónicos son básicamente una función digamma, difieren de ella solo por una constante:

ψ (x) = γ + H (x + 1)

$\psi(x)=\gamma+H(x+1)$

Respuestas (1)

Formas cerradas de sumas de potencias racionales o reales

De hecho, puede reescribir la suma zeta parcial usando la función zeta de Hurwitz : $ζ (s, norte) := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(norte + k)^{s}}$ $\zeta(s,n) := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(n+k)^s}$ de modo que : $\sum_{k = 1}^{norte} k^{α} = ζ (- α, 1) - ζ (- α, norte + 1)$ $\sum_{k=1}^{n}k^\alpha=\zeta(-\alpha,1)-\zeta(-\alpha,n+1)$ Ver también este y este hilos.
Gracias, descubrí la generalización de la función poligamma. $\displaystyle \psi^{(m)} (z) = (-1)^{m+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^m e^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$ proporciona una representación adecuada que luego se puede escribir como una función zeta de Hurwitz. Esos enlaces definitivamente son útiles para cualquier otra persona que vea esto.
Los números armónicos son básicamente una función digamma, difieren de ella solo por una constante: $\psi(x)=\gamma+H(x+1)$

señorito · Answer 1

$s=\Sigma^n_{k=1}k^a=1 ^a+2^a+3^a+ . . . k^a$

$e-1=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ . . .+\frac{1}{k!}+ ...$

La multiplicación término por término de dos series da:

$s . (e-1)=\Sigma^n_{k=1}k^a.\Sigma^n_{k=1}\frac{1}{k!}=\Sigma^n_{k=1}k^a.\frac{1}{k!}=\frac{1^a}{1!}+\frac{2^a}{2!}+\frac{3^a}{3!}+ . . .$

También:

$e^{e^x}=e[1+x+x^2+(5/6)x^3 +(5/8)x^4+ . . .(c_a) x^a]$

Podemos ver que los coeficientes de $x^a$ , es decir $(e.c_a)$ en esta expansión es:

$e.c_a=\frac{1}{a!}.[\frac{1^a}{1!}+\frac{2^a}{2!}+\frac{3^a}{3!}+ . . .]$

Por lo tanto :

$e. c_a.a!=s(e-1)$

⇒ $s=\Sigma^n_{k=1}k^a=\frac{a!.e.c_a}{e-1}$

¿Hay un nombre para esta multiplicación de series término por término? ¿ Se puede expresar de forma concreta como el producto de Cauchy? También como conseguiste $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{e^{xk}}{k!} = e[1 + x + x^2 + (5/6)x^3 + \ldots]$ . Si tiene algún recurso adicional o si obtuvo esto de un libro para que pueda leer más, estaría extremadamente agradecido. Gracias.
@TheoDiamantakis, gracias por su atención. Si encuentra este libro: "Classical Algebra", G. Praha, Books and allied (p) Ltd. (1999), vaya a las páginas 64 a 70, verá todas estas fórmulas.
Muchas gracias por esta referencia, entonces voy a seguir este post.
@sirous Si es posible, ¿tiene el ISBN, un enlace o el nombre completo del autor? He rastreado varios motores de búsqueda y estoy casi convencido de que el hombre o su libro no existen.
@TheoDiamantakis, el nombre completo del autor es Dr. Gunadhar Paria, dirección de la editorial: 8/1 Chintamoni Das Lane, Calcuta 700 009 (India). Fax: (+91-33) 241-3852, Correo electrónico: asen.central@axcess.net.in

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Theo Diamantakis

Raimundo Manzoni

Theo Diamantakis

Anixx

Respuestas (1)

señorito

Theo Diamantakis

señorito

usuario243301

Theo Diamantakis

señorito

¿Forma cerrada para esta serie gamma incompleta?

Calcula la forma cerrada de la siguiente serie

Forma cerrada de una suma con un factorial descendente

Forma cerrada de series de doble suma

Comportamiento de la autoconvolución de 1/n

¿Cómo se calculó la forma cerrada de esta suma alterna de cuadrados?

Hallar la forma cerrada de una suma

¿Cómo fue la forma cerrada de ∑nj=i+1(n−i−j+2)∑j=i+1n(n−i−j+2)\sum_{j=i+1}^{n}( ni-j+2) calculado?

forma cerrada de una suma

Integral ∫10x2−2x2−1−−−−√dx=π2π√Γ2(1/4)+Γ2(1/4)42π√∫01x2−2x2−1dx=π2πΓ2(1/4)+Γ2(1/4) )42π\int_0^1 \sqrt{\frac{x^2-2}{x^2-1}}\, dx=\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1 /4)}+\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}