Integral ∫10x2−2x2−1−−−−√dx=π2π√Γ2(1/4)+Γ2(1/4)42π√∫01x2−2x2−1dx=π2πΓ2(1/4)+Γ2(1/4) )42π\int_0^1 \sqrt{\frac{x^2-2}{x^2-1}}\, dx=\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1 /4)}+\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}

He estado tratando de encontrar la longitud de arco de$\sin^{-1}(x)$encima$[0,1]$.

Por supuesto, viene dada por la integral

$$J=\int_0^1\sqrt{1+\frac1{1-x^2}}\ dx=\int_0^1 \sqrt{\frac{2-x^2}{1-x^2}}\, dx$$ Para calcular esto, usé$x\mapsto \cos x$: $$J=\int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{1+1-\cos^2x}{1-\cos^2x}}\, \sin(x)dx=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1+\sin^2x}\,dx=\mathrm{E}(-1)$$ dónde $$\mathrm{E}(k)=\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-k\sin^2x}\,dx$$ es la integral elíptica completa de segunda clase.

Normalmente soy de los que aceptan valores de$\mathrm{E}$como formas cerradas por sí mismas, pero por casualidad, Wolfram proporcionó amablemente la evaluación explícita

$$\mathrm{E}(-1)=\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1/4)}+\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}\tag{1}$$ Cosa que me gustaria saber como probar.

Pude reconocer inmediatamente que

$$\frac{\Gamma^2(1/4)}{4\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\int_0^1\frac{dx}{x^{3/4}(1-x)^{3/4}}$$ Pero parece que no puedo encontrar una representación integral para el otro trozo, a saber$\frac{\pi\sqrt{2\pi}}{\Gamma^2(1/4)}$. Sospecho que la solución involucra las funciones elípticas de Jacobi y las funciones theta de Jacobi, pero no tengo idea de cómo usarlas. ¿Podría tener alguna ayuda para probar$(1)$? Gracias.