forma cerrada de una suma

Estoy tratando de derivar la forma cerrada de la suma. ∑ i = 2 norte 1 i ( i − 1 ) lo que Mathematica me dice es norte − 1 norte . Estoy completamente desconcertado sobre cómo llegar a este resultado. Lo más lejos que puedo llegar es ∑ i = 2 norte 1 i − 1 − ∑ i = 2 norte 1 i . ¿Hay alguna manera diferente en la que deba abordar esto? Cualquier orientación sería muy apreciada.

Contexto: estoy tratando de probar por inducción que ∑ i = 2 norte 1 i ( i − 1 ) < 1 para todos norte ≥ 2 . No puedo encontrar una forma alternativa de probar esto sin una forma cerrada para la suma.

sugiero que escriba el cálculo, a mano y poniendo las fracciones en términos mínimos, para norte = 3 , entonces norte = 4 , entonces norte = 5. Debería ser menos desconcertante para entonces.

Respuestas (3)

Pista: Estás en el camino correcto y ya casi estás allí. Si reindexas la segunda suma, dando

∑ i = 2 norte 1 i = ∑ j = 3 norte + 1 1 j − 1 ,
¿Ves cómo se derrumban las sumas?

1 2 × 1 + 1 3 × 2 + . . . + 1 norte × ( norte − 1 )

= ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + . . . + ( 1 norte − 1 − 1 norte )

= 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + . . . + ( − 1 norte − 1 + 1 norte − 1 ) − 1 norte

= 1 − 1 norte

= norte − 1 norte

Sugerencia: la mayoría de los términos en ∑ i = 2 norte 1 / ( i − 1 ) y ∑ i = 2 norte 1 / i son lo mismo. Escriba algunos ejemplos para pequeños norte y verás cómo funciona.

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