Comportamiento de la autoconvolución de 1/n

Question

Comportamiento de la autoconvolución de 1/n

suma
forma cerrada
circunvolución
Matemáticas
límites superior-inferior

alma confundida

Deseo encontrar una forma cerrada, o un buen límite superior para $\sum_{i=1}^{i=n-1} \frac{1}{i \times (n-i)}$ .

Puedo especificar un límite inferior de $(n-1)/n^2$ , que parece $1/n$ porque tenemos $n-1$ términos son mayores que $1/n^2$ , y un límite superior en la vecindad $log(n)$ debido a que los términos individuales son inferiores a $1/i$ , y nuestro conocimiento de que sumas de $1/i$ aproximar la función de registro, pero eso es todo.

Tenga en cuenta que esta es también la convolución de $1/n$ consigo mismo, si esto ayuda.

Enrique

@Ramanujan: hubiera pensado

\frac{1}{k (n - k)} = \frac{1}{n} (\frac{1}{n - k} + \frac{1}{k})

$\frac{1}{k (n - k)} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n - k} + \frac{1}{k}\right)$ podría ser más útil

alma confundida

yo puse

1 / (n - i) * i

$1/(n-i)*i$ que me dio

\frac{1}{norte i} - \frac{1}{norte \times (i - norte)}

$\frac{1}{ni} - \frac{1}{n\times (i-n)}$ factorizando el

n

$n$ me da la suma de dos armónicos que es suficiente para mí para aproximar mi función a

2 * l o g (n) / n

$2*log(n)/n$ , si mis cálculos son precisos.

Enrique

@ConfusedSoul Sí: eso no está muy lejos para los grandes

n

$n$ . O se podría decir que está entre

\frac{2}{n} (\log (n - 1) + γ) + \frac{1}{n (n - 1)} - \frac{1}{4 n (n - 1)^{2}}

$\frac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\frac1{n(n-1)}-\frac1{4n(n-1)^2}$ y

\frac{2}{n} (\log (n - 1) + γ) + \frac{1}{n (n - 1)}

$\frac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\frac1{n(n-1)}$

Respuestas (1)

Comportamiento de la autoconvolución de 1/n

@Ramanujan: hubiera pensado $\frac{1}{k (n - k)} = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n - k} + \frac{1}{k}\right)$ podría ser más útil
yo puse $1/(n-i)*i$ que me dio $\frac{1}{norte i} - \frac{1}{norte \times (i - norte)}$ $\frac{1}{ni} - \frac{1}{n\times (i-n)}$ factorizando el $n$ me da la suma de dos armónicos que es suficiente para mí para aproximar mi función a $2*log(n)/n$ , si mis cálculos son precisos.
@ConfusedSoul Sí: eso no está muy lejos para los grandes $n$ . O se podría decir que está entre $\frac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\frac1{n(n-1)}-\frac1{4n(n-1)^2}$ y $\frac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\frac1{n(n-1)}$

Enrique · Answer 1

Solicitado en comentarios:

Usuario: Ramanujan sugirió dividir el sumando en fracciones parciales.

Encontraste $\frac{1}{i (n-i)} = \frac{1}{ni} + \frac{1}{n (n-i)}$ (invirtiendo dos signos ya que $n>i$ ) y así relacionado con la suma de dos series armónicas , y sugirió la aproximación razonable $2\log(n)/n.$

Como la suma es exactamente $\frac2nH_{n-1}$ , podría encontrar límites más estrictos y decir que está entre $\dfrac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\dfrac1{n(n-1)}-\dfrac1{4n(n-1)^2}$ y $\dfrac{2}n(\log (n-1)+\gamma)+\dfrac1{n(n-1)},$ dónde $\gamma\approx 0.5772156649$ es la constante de Euler-Mascheroni.

El constante $4$ en el límite inferior en realidad puede ser reemplazado por $6$ , que es lo mejor posible.

Comportamiento de la autoconvolución de 1/n

alma confundida

Enrique

alma confundida

Enrique

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Enrique

Gary

Calcula la forma cerrada de la siguiente serie

Forma cerrada de una suma con un factorial descendente

Forma cerrada de series de doble suma

¿Cómo se calculó la forma cerrada de esta suma alterna de cuadrados?

Hallar la forma cerrada de una suma

¿Cómo fue la forma cerrada de ∑nj=i+1(n−i−j+2)∑j=i+1n(n−i−j+2)\sum_{j=i+1}^{n}( ni-j+2) calculado?

forma cerrada de una suma

Formas cerradas de sumas de potencias racionales o reales

¿Qué es una forma cerrada para esta suma combinatoria?

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi