Amplitud de estado y covarianza del operador de campo en QFT

Realmente no me gusta la notación usando$u'(x')$porque da lugar a mucha confusión. Relajémonos un poco y escribamos todo de una manera diferente.

Tenemos una variedad de espacio-tiempo$M$un espacio vectorial$V$y un campo que es básicamente un mapa$u: M \rightarrow V$. Ahora emplearé el punto de vista activo. tenemos ahora$M = \mathbb{R}^4$, pero escribo$M$ya que me da pereza escribir todo el tiempo asi de negrita$\mathbb{R}$.

Nuestros campos son representaciones del grupo Lorentz que son inducidas por representaciones del Grupo Lorentz en$M$y en$V$. Queremos entender esto ahora mejor.

Dejar$\omega$ser un elemento del Lorentz-Group. Entonces obtenemos un mapa$\Lambda(\omega): M \rightarrow M, x \mapsto \Lambda(\omega)x$dónde$\Lambda(\omega)$denota sólo la matriz en la representación fundamental. En el espacio vectorial también tenemos una representación, por ejemplo, una representación de Spinor o la representación vectorial, que denotamos$A(\omega): V \rightarrow V, v \mapsto A(\omega)v$. Ahora llamemos por un momento$F = \{u: M \rightarrow V\}$el espacio de campo. Luego obtenemos una representación del grupo de Lorentz en$F$por:

Esto se puede hacer un poco más claro en un diagrama:

donde vemos directamente, que$u' = A(\omega) \circ u \circ \Lambda(\omega)^{-1}$.

En este punto$u'$es una función en$M$y si llamamos al elemento om$M$dónde$u'$se evalúa en$x \in M$, nosotros escribimos$u'(x)$. Creo que el problema se aclara pensando en$u'$De este modo.

Ahora tenemos, siguiendo las líneas del libro de Bogoliubov$u'(x) = U^{-1}(\omega) u(x) U(x)$con$x \in M$y todo lo definido anteriormente.

Ahora, como una pequeña prueba, que esta argumentación es razonable, calculemos el generador infinitesimal que genera las transformaciones en$F$. Nos restringimos ahora a las traducciones (bueno, son Poincaré y escribí Lorentz hasta ahora, pero eso no importa), ya que esto es más fácil.

Las traducciones son$\mathbb{R}^4$actuando$\mathbb{R}$para$a \in \mathbb{R}^4$como$\Lambda(a): \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4, x \mapsto x+a$. Están actuando trivialmente en$V$, es decir$A(a) = id.$. Por lo tanto, tenemos$B(a): F \rightarrow F, u \mapsto u \cong \Lambda(a)^{-1} = u(\cdot - a)$. Por lo tanto para$x \in M$tenemos en la nomenclatura anterior$u'(x) = u(x-a) = e^{-i p a}$con$p a = a^\mu \partial_\mu$. Esto reproduce el resultado de la fórmula (9.19) y la fórmula directamente arriba (módulo a signo ya que he elegido el punto de vista activo).

Ahora que pasa con esto$x'$¿flotando alrededor? Normalmente si un físico escribe en un libro$x'$siempre se refiere al mapa$x' = \Lambda(\omega)$es decir$x'(x) = \Lambda(\omega)^{-1} x$. Si un físico escribe$u'(x')$normalmente el primer primo denota el mapa$A(\omega)$actuando$u(x'(x))$y el$x'$denota el mapa como expliqué antes. Si un físico escribe$u'(x)$el medio principal, que$u' = A(\omega) \circ u \circ x'$es decir$u'(x) = A(\omega) u(x'(x))$.

Te sugiero que sigas este enlace. Pero en resumen: si transformas las coordenadas y el campo al mismo tiempo, terminas con el mismo campo$u'(x') = u(x)$. Si desea estudiar el efecto de una transformación en la dinámica del sistema, debe considerar cambiar las coordenadas (transformación pasiva) o el campo (transformación activa). En este caso, el libro está optando por lo segundo.