Ecuación de Dirac como sistema hamiltoniano

Dada la densidad lagrangiana de Dirac

$$\begin{align} {\cal L}~=~&\overline{\psi}(i\sum_{\mu=0}^3\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi, \cr \overline{\psi}~:=~&\psi^{\dagger}\gamma^0, \cr \{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}_{+} ~=~&2\eta^{\mu\nu}{\bf 1}_{4\times 4}, \end{align} \tag{1}$$

con firma Minkowski$(+,-,-,-)$, y$\psi$es un Grassmann-odd Dirac-spinor , la pregunta es ¿Cómo encontrar el formalismo hamiltoniano correspondiente?

La transformación de Legendre de (1) es singular. El análisis de Dirac-Bergmann de la teoría (1) conduce a restricciones, cf. por ejemplo, ref. 1 o esta publicación de Phys.SE. Aquí, en cambio, tomaremos un atajo usando el método Faddeev-Jackiw .

I) Campos de Grassmann complejos. Primero identificamos la densidad hamiltoniana${\cal H}$como (menos) los términos en (1) que no implican derivadas temporales:

$$\begin{align} {\cal L}~=~&i\psi^{\dagger}\dot{\psi}-{\cal H}, \cr {\cal H}~=~& \overline{\psi} (-i\sum_{j=1}^3\gamma^{j}\partial_{j}+m)\psi. \end{align}\tag{2}$$

El potencial simpléctico de una forma se puede transcribir del término cinético en (2):

$$\vartheta(t) ~=~\int\! d^3x~ i\psi^{\dagger}({\bf x},t) ~\mathrm{d}\psi({\bf x},t), \tag{3}$$

dónde$\mathrm{d}$denota la derivada exterior$^1$en el espacio de configuración de dimensión infinita para el campo de fermiones. La forma simpléctica de dos es entonces

$$\begin{align} \omega(t)~=~&\mathrm{d}\vartheta(t) ~=~\int\! d^3x~ i\mathrm{d}\psi^{\dagger}({\bf x},t) \wedge \mathrm{d}\psi({\bf x},t) \cr ~=~&\int\! d^3x~d^3y~ i\mathrm{d}\psi^{\dagger}({\bf x},t) \wedge \delta^3({\bf x}-{\bf y}) ~\mathrm{d}\psi({\bf y},t). \end{align}\tag{4}$$

El corchete de super-Poisson /Dirac de tiempos iguales en campos fundamentales es la supermatriz inversa de la supermatriz para la forma simpléctica de dos (4):

$$\begin{align} \{\psi_{\alpha}({\bf x},t), \psi^{\dagger}_{\beta}({\bf y},t)\}_{PB}~=~& -i \delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y})\cr ~=~&\{\psi^{\dagger}_{\alpha}({\bf x},t), \psi_{\beta}({\bf y},t)\}_{PB}, \end{align}\tag{5}$$

y otros brackets súper-Poisson fundamentales desaparecen. Debido al principio de correspondencia QM , las relaciones canónicas de anticonmutación (CAR) son los corchetes de super-Poisson (5) multiplicados por$i\hbar$:

$$\begin{align} \{\hat{\psi}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}^{\dagger}_{\beta}({\bf y},t)\}_{+} ~=~& \hbar\delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y})\hat{\bf 1}\cr ~=~&\{\hat{\psi}^{\dagger}_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}_{\beta}({\bf y},t)\}_{+}, \end{align}\tag{6}$$ y otros CAR desaparecen.

I) Campos de Grassmann reales. Alternativamente, descompongamos el complejo espinor de Dirac

$$\psi_{\alpha}~\equiv~(\psi^1_{\alpha}+i\psi^2_{\alpha})/\sqrt{2} \quad\text{and}\quad \psi^{\dagger}_{\alpha}~\equiv~(\psi^1_{\alpha}-i\psi^2_{\alpha})/\sqrt{2}, \tag{7}$$

en partes reales e imaginarias. La densidad lagrangiana (2) se lee hasta los términos derivados totales$^2$

$$\begin{align} {\cal L}~=~&\frac{i}{2}\left(\psi^{\dagger}\dot{\psi}- \dot{\psi}^{\dagger}\psi\right)-{\cal H}\cr ~=~&\frac{i}{2}\sum_{a=1}^2(\psi^a)^T\dot{\psi}^a-{\cal H}. \end{align}\tag{2'}$$

El potencial de una forma simpléctica correspondiente es

$$\vartheta(t) ~=~\sum_{a=1}^2\int\! d^3x~ \frac{i}{2}\psi^a({\bf x},t)^T ~\mathrm{d}\psi^a({\bf x},t). \tag{3'}$$

La forma simpléctica de dos es

$$\begin{align} \omega(t)~=~&\mathrm{d}\vartheta(t) ~=~\sum_{a=1}^2\int\! d^3x~ \frac{i}{2}\mathrm{d}\psi^a({\bf x},t)^T \wedge \mathrm{d}\psi^a({\bf x},t) \cr ~=~&\sum_{a,b=1}^2\int\! d^3x~d^3y~ \frac{i}{2}\mathrm{d}\psi^a({\bf x},t)^T \wedge \delta_{ab}~\delta^3({\bf x}-{\bf y}) ~\mathrm{d}\psi^b({\bf y},t). \end{align}\tag{4'}$$

El super-Poisson de igual tiempo es

$$\{\psi^a_{\alpha}({\bf x},t), \psi^b_{\beta}({\bf y},t)\}_{PB}~=~ -i \delta^{ab}~\delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y}).\tag{5'}$$

Los CAR son

$$\{\hat{\psi}^a_{\alpha}({\bf x},t), \hat{\psi}^b_{\beta}({\bf y},t)\}_{+} ~=~ \hbar\delta^{ab}~\delta_{\alpha\beta}~\delta^3({\bf x}-{\bf y})\hat{\bf 1} . \tag{6'}$$

Referencias:

1. A. Das, Conferencias sobre QFT, (2008); Capítulo 10.

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$^1$En nuestras superconvenciones, la derivada exterior$\mathrm{d}$es Grassmann-par y lleva el grado de forma +1.

$^2$Note que sumando una derivada de tiempo total

$$i\psi^{\dagger}\dot{\psi}~\longrightarrow~i\psi^{\dagger}\dot{\psi}+ \frac{d}{dt}(\alpha\psi^{\dagger}\psi)\tag{8}$$

al término cinético (2) corresponde a sumar un término exacto

$$\vartheta(t)~\longrightarrow~\vartheta(t)+ \mathrm{d} \int\! d^3x~ \alpha\psi^{\dagger}({\bf x},t) \psi({\bf x},t) \tag{9}$$

al potencial simpléctico de una forma (3), que no tiene ningún efecto sobre el simpléctico de dos formas (4).

Ahora, no sé qué significa la palabra riguroso, pero aquí hay una respuesta ingenua. Dado

$$H = \int d^3 x \, \bar{\Psi}(i \gamma_i \partial_i +m)\Psi$$ de $$\mathcal{L} = i\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi - \bar{\Psi} m \Psi \quad \text{and}\quad H = \int d^3x \, (\pi \dot{\Psi}-\mathcal{L})$$ con $(+,-,-,-)$. Usemos el soporte possoin $$\{A,B\} = \int d^3 x \, (\delta_{\Psi}A \, \delta_{\pi}B-\delta_{\pi}A \, \delta_{\Psi}B)$$ y recordemos que $\pi_{\Psi} = i \bar{\Psi}\gamma_0 \implies \bar{\Psi} = -i \pi \gamma_0$de modo que $$H = \int d^3x \, -i\gamma_0\pi(i\gamma_i\partial_i +m)\Psi$$ considerar $$\delta_{\pi}H = \int d^3x \, \gamma_0 (\delta_{\pi}\pi) \gamma_i \partial_i \Psi + \gamma_0\pi\gamma_i\partial_i(\delta_{\pi}\Psi) - i\gamma_0 (\delta_{\pi}\pi) m\Psi - i\gamma_0 \pi m (\delta_{\pi}\Psi)$$ $$=\gamma_0 \gamma_i \partial_i \Psi - i\gamma_0 m \Psi$$ Entonces mirando $$\{H,\Psi\} = -\gamma_0 \gamma_i \partial_i \Psi + i\gamma_0 m \Psi = \dot{\Psi}$$ Dios sabe si esto es correcto, pero esto suena como lo que estás buscando.

En mi opinión, no se puede [*] definir rigurosamente el corchete. Suponga que utiliza la ecuación de campo de Dirac para llegar a la densidad lagrangiana ordinaria

$$\mathcal{L} = c \bar{\psi} \left( i\hbar \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \right) \psi$$

Esta es una función de los componentes del espinor.$\psi_i$y sus adjuntos$\bar{\psi_i}$. El problema comienza cuando tratas de obtener el momento conjugado para los adjuntos (el punto denota la derivada del tiempo)

$$\bar{\pi_i} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\bar{\psi_i}}} = 0$$

lo que implica que no todas las variables canónicas son independientes y que no existe una verdadera estructura 'fase-espacio'.

Podría intentar definir formalmente los corchetes de Poisson de la manera habitual,

$$\{ A, B \} \equiv \sum_i \frac{\partial A}{\partial \psi_i} \frac{\partial B}{\partial \pi_i} - \frac{\partial A}{\partial \pi_i} \frac{\partial B}{\partial \psi_i} + \sum_j \frac{\partial A}{\partial \bar{\psi}_j} \frac{\partial B}{\partial \bar{\pi}_j} - \frac{\partial A}{\partial \bar{\pi}_j} \frac{\partial B}{\partial \bar{\psi}_j}$$

pero tenga en cuenta que esto solo es formalmente válido, porque las variables no son todas independientes. Las ecuaciones de movimiento se escribirían algo así como

$$\dot{A} \approx \{ A, \mathcal{H} \}$$

usando el signo de igualdad débil de Dirac, porque esta es una dinámica restringida. La densidad hamiltoniana se obtiene de

$$\mathcal{H} \approx \sum_i \pi_i \dot{\psi}_i + \sum_j \bar{\pi}_j \dot{\bar{\psi}}_j - \mathcal{L}$$

Note que todo esto es un tratamiento cuántico. No existe la teoría clásica de espinor.

[*] Supongo que todo depende de lo que intentes hacer.

Es posible construir un hamiltoniano. De hecho, esta es la forma en que Dirac escribió inicialmente su ecuación. Para eso, las coordenadas de tiempo y espacio deben tratarse de manera diferente. En la imagen de Schrödinger, el hamiltoniano genera la dinámica del tiempo a través de ($\hbar =0$)

$$i \partial_t \psi = H \psi.$$ Vemos que podemos obtener esta estructura a partir de la ecuación de Dirac multiplicándola por $\gamma^0$(y usando $\gamma_0^2=1$). Con eso obtenemos el resultado $$H = {\bf\alpha} \cdot {\bf p} + \beta m$$ donde introdujimos la notación convencional $\beta =\gamma^0$, $\alpha^k =\gamma^0 \gamma^k$, y $p_k = -i\partial_k$.

Si desea escribir esto en términos de una teoría de campo clásica, con el campo$\psi$evolucionando como

$$\partial_t \psi({\bf r}) = \{\mathcal{H},\psi ({\bf r})\},$$ el hamiltoniano está dado por $$\mathcal{H} = \int\!d^3r \,\psi^*({\bf r})H \psi({\bf r}).$$

Editar:

Defino el corchete de Poisson como

$$\{ A, B\} = \int\!d^3r\left[\frac{\delta A}{\delta \psi({\bf r})}\frac{\delta B}{\delta \psi^*({\bf r})} -\frac{\delta B}{\delta \psi({\bf r})}\frac{\delta A}{\delta \psi^*({\bf r})} \right]$$ donde las derivadas son derivadas funcionales y hemos supuesto (como siempre) que $\psi$y $\psi^*$son variables independientes con las relaciones definitorias $$\frac{ \delta \Psi({\bf r})}{\delta \Psi({\bf r}')} = \frac{ \delta \Psi^*({\bf r})}{\delta \Psi^*({\bf r}')} = \delta^3({\bf r}-{\bf r}'), \quad\frac{ \delta \Psi({\bf r})}{\delta \Psi^*({\bf r}')} = \frac{ \delta \Psi^*({\bf r})}{\delta \Psi({\bf r}')} = 0.$$