¿La ecuación de Heisenberg para campos y momentos canónicos se cumple también para el operador de densidad hamiltoniano en lugar del operador hamiltoniano?

Question

¿La ecuación de Heisenberg para campos y momentos canónicos se cumple también para el operador de densidad hamiltoniano en lugar del operador hamiltoniano?

Física
conmutador
teoría de campo
corchetes de poisson
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

látigo cuántico

En la teoría cuántica de campos, con el campo $\phi$ y el impulso $\pi$ siendo operadores, su evolución temporal se rige (en la imagen de Heisenberg) por la ecuación de Heisenberg:

\begin{aligned} \dot{ϕ} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, ϕ] \\ \dot{π} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, π] . \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\phi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{H}, \phi] \\ \dot{\pi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{H}, \pi]. \\ \end{align}$

Ahora, en caso de que el operador hamiltoniano $\hat{H}=\int d^3x ~\hat{\cal H}$ se puede escribir como una integral sobre la densidad hamiltoniana $\hat{\cal H}$ , y los campos y los momentos conmutan en posiciones no iguales, ¿se mantienen las mismas ecuaciones con el operador hamiltoniano reemplazado por su densidad? ¿Cuáles serían las advertencias?

\begin{aligned} \dot{ϕ} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, ϕ] \\ \dot{π} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, π] . \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\phi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{\cal H}, \phi] \\ \dot{\pi} = \frac{i}{\hbar}[ \hat{\cal H}, \pi]. \\ \end{align}$

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relacionado: Teoría de campos: equivalencia entre formulación hamiltoniana y lagrangiana .

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qmecanico · Answer 1

La respuesta es No. Para empezar por razones dimensionales. Una densidad lleva dimensión $L^{-3}$ .
En el caso clásico (a diferencia del cuántico), es tentador (al menos parcialmente) incorporar la sugerencia de OP para funcionales
$\begin{matrix} (1) & F = \int d^{3} X F (X), GRAMO = \int d^{3} X gramo (X), \end{matrix}$ $F~=~\int \! d^3x~f(x), \qquad G~=~\int \! d^3x~g(x), \tag{1}$ cambiando la definición del corchete de Poisson canónico de teoría de campo estándar $\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} {F, GRAMO} := & \int_{V} d^{3} X (\frac{d F}{d ϕ (X)} \frac{d GRAMO}{d π (X)} - \frac{d F}{d π (X)} \frac{d GRAMO}{d ϕ (X)}) \\ = & \int_{V} d^{3} X {{F (X), gramo (X)}} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\{ F, G\} ~:=&~\int_V \! d^3x ~\left(\frac{\delta F}{\delta \phi (x)}\frac{\delta G}{\delta \pi (x)}-\frac{\delta F}{\delta \pi (x)}\frac{\delta G}{\delta \phi (x)} \right)\cr ~=~&\int_V \! d^3x ~\{\!\{ f(x),g(x)\}\!\}\end{align} \tag{2}$ a un mismo- $x$ corchete venenoso $\begin{matrix} (3) & {{F (X), gramo (X)}} := \frac{d F (X)}{d ϕ (X)} \frac{d gramo (X)}{d π (X)} - \frac{d F (X)}{d π (X)} \frac{d gramo (X)}{d ϕ (X)}, \end{matrix}$ $\{\!\{ f(x),g(x)\}\!\} ~:=~\frac{\delta f(x)}{\delta \phi (x)}\frac{\delta g(x)}{\delta \pi (x)}-\frac{\delta f(x)}{\delta \pi (x)}\frac{\delta g(x)}{\delta \phi (x)}, \tag{3}$ dónde $\delta f(x)/\delta \phi (x)$ denote un derivado funcional del mismo espacio-tiempo, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . En otras palabras, los corchetes de Poisson fundamentales distintos de cero dicen $\begin{matrix} (4) & {ϕ (X), π (y)} = d^{3} (X - y) y {{ϕ (X), π (X)}} = 1, \end{matrix}$ $\{ \phi(x),\pi(y) \} ~=~\delta^3(x\!-\!y)\qquad\text{and}\qquad \{\!\{ \phi(x),\pi(x) \}\!\} ~=~1,\tag{4}$ es decir, lo mismo- $x$ El corchete de Poisson (3) se define sin una distribución delta de Dirac. Sin embargo, en el $x$ -local $\{\!\{\cdot,\cdot\}\!\}$ formalismo (3) los signos de igualdad normalmente solo contienen términos derivados del módulo total del espacio-tiempo.

kryomaxim · Answer 2

Tienes $\hat{H} = \int d^3x \hat{\tilde{H}}(x)$ . Eso implica que las Relaciones canónicas serán ligeramente alteradas.

Para un operador de campo cuántico $\hat{\phi}(x',t)$ distribuido en el espacio $x'$ y tiempo $t$ , tendrás una relación como la siguiente:

$[\hat{\tilde{H}}(x),\hat{\phi}(x',t)] = \frac {\partial}{\partial t} \hat{\phi(x',t)} \delta(x-x')$ .

El factor de función Delta asegura no solo la conmutación de Operadores para Puntos de espacio desigual; también que después de la Integración sobre el espacio, se obtienen las Relaciones de conmutación ordinarias

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