Interpretación del tensor de intensidad de campo en la Teoría de Yang-Mills

Clásicamente, la intensidad de campo de calibre es una curvatura de una conexión, de la misma manera que lo es el tensor de Riemann. Desde$F^a_{\mu\nu}$vive en la representación adjunta del grupo de indicadores, puede definir un objeto de 4 índices muy análogo al tensor de Riemann:

dónde$f_c{}^a{}_b$son las constantes de estructura definidas mediante

factores de módulo de$i$si desea insertarlos. En cualquier caso, el objeto$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$contiene información sobre el transporte paralelo alrededor de bucles infinitesimales, en el mismo sentido que lo hace el tensor de Riemann. Pero el vector que se traduce no es un vector tangente; en cambio, es un vector en el espacio de calibre (o espacio "interno"), cuyos componentes se definen a través de la expansión en los generadores.$t_a$, como en$V = V^a \, t_a$.

Entonces,$\mathcal{F}^a{}_{b\mu\nu}$describe el cambio de$V = V^a \, t_a$ya que se transporta en paralelo (a través de la derivada covariante$D_\mu \equiv \partial_\mu + A_\mu$, otra vez factores de módulo de$i$, etc.) alrededor de un pequeño paralelogramo en las direcciones$\partial_\mu, \partial_\nu$.

Aquí hay varias "motivaciones" para considerar la curvatura de un campo de calibre. Sin embargo, tenga en cuenta que la noción de motivación "física" es algo vaga en las teorías de calibre no abelianas, y que "coincide con el electromagnetismo en el caso abeliano" ya es una motivación bastante fuerte ; por supuesto, queremos que la no- Teoría abeliana para reducir a electromagnetismo en el caso abeliano.

1. Queremos un objeto invariable de calibre para usar en la acción. Tomando el campo de calibre$A$sí mismo o rastros de él no funciona ya que el adicional$g\mathrm{g}^{-1}$término bajo transformaciones de calibre estropea la invariancia de la traza bajo el$gAg^{-1}$. Dado que el campo de calibre se introdujo para tener una derivada covariante, parece natural tratar de tomar la derivada covariante de él. De hecho, encontramos que$\mathrm{d}_A A = \mathrm{d}A + A\wedge A = F$se transforma como$F\mapsto gFg^{-1}$bajo la transformación de calibre, por lo que tomar su rastro produce un objeto de calibre invariable que podemos usar para construir una acción de calibre invariante.

2. Es la holonomía infinitesimal. Este es el teorema de Ambrose-Singer : dada una conexión con su noción de transporte paralelo, la holonomía alrededor de un camino cerrado, a menudo escrita simbólicamente como una integral ordenada por caminos.$\mathcal{P}\mathrm{e}^{\oint A}$, es otro objeto natural e invariante de calibre a considerar. Es físicamente relevante ya que los valores esperados de los bucles de Wilson y Polyakov son poco más que el valor esperado de la holonomía a lo largo de estos bucles, y si reduce dicho bucle, encontrará que el valor de la holonomía se aproxima bien por el valor de la curvatura dentro del bucle. Básicamente, esto es lo que está "curvado" sobre la curvatura: le dice cuánto se desvía el transporte paralelo alrededor de un bucle infinitesimal basado en un punto de la identidad, es decir, el espacio "plano".