Forma correcta de resolver la ecuación para el movimiento armónico simple

Creo que te estás preocupando demasiado. Este es el enfoque correcto (voy a ser un poco impertinente, así que no te tomes este primer párrafo demasiado en serio en una primera lectura :)):

1. Paso 1: Comprender el significado del Teorema de Picard-Lindelöf ;
2. Paso 2: comprenda que, al asignar variables de estado a todas excepto a la derivada de mayor orden, puede volver a trabajar$\ddot x +\omega^2\,x=0$en una versión vectorial de la forma estándar$\dot{\mathbf{u}} = f(\mathbf{u})$abordado por el teorema PL y que, en este caso, el$f(\mathbf{u})$cumple las condiciones del teorema PL (es continuo de Lipschitz)
3. Paso 3: elija su método favorito para encontrar una solución a la ED y las condiciones de contorno: trucos que aprende en las ecuaciones diferenciales 101, prueba y error rellenando conjeturas y viendo qué sucede... ¡cualquier cosa! .... y luego ¡A POR ELLO!

De acuerdo, eso es un poco frívolo, pero el punto es que usted sabe por consideraciones teóricas básicas que debe haber una solución y, como sea que resuelva la ecuación, si puede encontrar una solución que se ajuste a la ecuación y las condiciones de contorno, simplemente debe tener la solución correcta y única sin importar cómo se deduzca .

En particular, las consideraciones teóricas anteriores son válidas ya sea que las variables sean reales o complejas, por lo que si encuentra una solución utilizando variables complejas y se ajustan a las condiciones de contorno reales, entonces la solución debe ser la misma que se encuentra al apegarse con notación de variable real. De hecho, uno puede definir las nociones de$\sin$y$\cos$a través de las soluciones de$\ddot x +\omega^2\,x=0$y tienen que ser equivalentes a soluciones exponenciales complejas a través de las consideraciones anteriores del teorema PL. Luego puede pensar en esta equivalencia forzada como la razón de su propia idea bellamente redactada que ha elaborado por sí mismo:

"Entonces, usar seno/coseno e incluso es esencialmente equivalente siempre que permita constantes complejas para proporcionar un factor de conversión entre los dos".

Suelta la palabra "esencialmente" y ¡lo tienes todo resuelto!

En realidad, volvamos al Paso 2 en mi respuesta "irónica" (pero teóricamente sólida), ya que nos muestra cómo unir todos estos enfoques e incorporar la física muy bien. Divida la ecuación en un par acoplado de ecuaciones de primer orden escribiendo:

$$\dot{x} = \omega\,v;\, \dot{v} = -\omega\,x$$

y ahora podemos escribir las cosas sucintamente como una ecuación matricial:

$$\dot{X} = -i\,\omega \, X;\quad i\stackrel{def}{=}\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)\text{ and } X = \left(\begin{array}{c}x\\v\end{array}\right)\tag{1}$$

cuya única solución es la ecuación matricial$X = \exp(-i\,\omega\,t)\,X(0)$. Aquí$\exp$es la matriz exponencial. Tenga en cuenta también que, como matriz de coeficientes reales,$i^2=-\mathrm{id}$. Ahora, puede que sepas que una manera perfectamente buena de representar números complejos es la siguiente: el campo$(\mathbb{C},\,+,\,\ast)$es isomorfo al campo conmutativo de matrices de la forma:

$$\left(\begin{array}{cc}x&-y\\y&x\end{array}\right);\quad x,\,y\in\mathbb{R}\tag{2}$$

junto con la multiplicación y suma de matrices. Para matrices de esta forma especial, la multiplicación de matrices es conmutativa (aunque, por supuesto, generalmente no lo es) y el isomorfismo lo exhibe la biyección

$$z\in\mathbb{C}\;\leftrightarrow\,\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Re}(z)&-\mathrm{Im}(z)\\\mathrm{Im}(z)&\mathrm{Re}(z)\end{array}\right)\tag{3}$$

Así que si, ahora, dejamos$Z$ser un$2\times2$matriz de esta forma, entonces podemos resolver (1) mapeando el vector de estado$X = \left(\begin{array}{c}x\\v\end{array}\right)$biyectivamente a la$2\times 2$matriz$Z = \left(\begin{array}{cc}x&-v\\v&x\end{array}\right)$, resolviendo la ecuación$\dot{Z} = -i\,\omega\,Z$, es decir $Z(t) = \exp(-i\,\omega\,t)\,Z(0)$, dónde$Z(0)$es el$2\times 2$matriz de la forma (2) con los valores correctos de$x(0)$y$v(0)$que cumplen las condiciones de contorno, y luego tomando solo la primera columna de la resultante$2\times 2$solución matricial$Z(t)$Llegar$X(t)$.

Esto es precisamente equivalente al método de notación compleja que ha estado usando, como espero que vea si explora un poco lo anterior. Los ángulos de fase están codificados por la fase del$2\times2$matriz$Z$, considerado como un número complejo por el isomorfismo descrito anteriormente.

Además, hay algo de física encantadora aquí. Considere la norma cuadrada del vector de estado$X$; es$E = \frac{1}{2}\,\langle X,\,X\rangle = \frac{1}{2}(x^2 + v^2)$y puedes deducir inmediatamente de (1) que

$$\dot{E} = \langle X,\,\dot{X}\rangle = X^T\,\dot{X} = -\omega\,X^T \,i\, X = 0\tag{4}$$

Esto tiene dos interpretaciones. En primer lugar,$E$es la energía total del sistema, dividida en energía potencial$\frac{1}{2}\,x^2$y cinético$\frac{1}{2}\,v^2$. En segundo lugar, (4) muestra que el vector de estado, escrito como componentes cartesianos, sigue el círculo$x^2+v^2=2\,E$y de hecho este movimiento es un movimiento circular uniforme de$\omega$radianes por unidad de tiempo. De modo que el movimiento armónico simple es el movimiento de cualquier componente cartesiana del movimiento circular uniforme.

También podría resolver el problema comenzando con (1), deduciendo (4) y luego haciendo la sustitución

$$x=\sqrt{2\,E}\,\cos(\theta(t));\quad\, v=\sqrt{2\,E}\,\sin(\theta(t))\tag{5}$$

que es validado por la ley de conservación$x^2+v^2=2\,E$con$\dot{E}=0$. Luego sustituye$x$de vuelta a la ecuación SHM original para deducir que

$$\theta(t) = \pm\omega\,t+\theta(0)\tag{6}$$

La idea más simple de una ecuación diferencial como

$$\ddot{x}+ a\dot{x}=- b x$$ es notar que el lado izquierdo te dice que las derivadas de la función $x(t)$debe ser un múltiplo de esta función ya que el lado derecho es proporcional a $x(t)$.

¿Cuáles son entonces las funciones (simples) que devuelven múltiplos de sí mismas bajo diferenciación? Solo hay$Ae^{\lambda t}$(con$\lambda$y$A\ne 0$constantes) o la función trivial$x=$constante. Ninguna otra función devuelve un múltiplo de sí misma bajo diferenciación.

Resulta que$x$debe ser de la forma$x=Ae^{\lambda t}$. Insertar esto en la ecuación diferencial transforma el problema de encontrar la función a encontrar las constantes$\lambda$y$A$.

De hecho obtenemos la ecuación auxiliar$\lambda^2+a\lambda=-b$con el factor$A$cancelando$\lambda$entonces se puede encontrar resolviendo la ecuación cuadrática. Como hay (generalmente) dos raíces$\lambda_\pm$la solución general será

$$x(t)=A_+e^{\lambda_+ t}+A_-e^{\lambda_-t}\, .$$ porque la posición $x(t)$es un número real, debe ser que la constante $A_\pm$, que están determinadas por las condiciones iniciales del problema, se combinan para dar funciones reales; si las raíces $\lambda_\pm$tienen partes imaginarias debe ser que, al usar el teorema de Euler, $x(t)$toma la forma $$x(t)=e^{-\gamma t}\left(B_+\cos(\omega t)+B_-\sin(\omega t)\right)$$ Aquí $-\gamma$es la parte real y $\omega$es la parte imaginaria de $\lambda_\pm=-\gamma\pm i\omega$.

El mismo argumento se aplica cuando$a=0$: ¿Qué funciones son tales que sus segundas derivadas son múltiplos de sí mismas? De nuevo$e^{\pm\lambda t}$pero ahora también$\sin(\omega t)$y$\cos(\omega)$. El primero se transforma en un múltiplo positivo de sí mismo y los dos últimos en múltiplos negativos de sí mismos. Por lo tanto, puede especializar la forma de la solución a partir del signo de$b$en la ecuación diferencial. Para el movimiento armónico puro,$b=\sqrt{\omega}>0$.

Por lo tanto, como habrá adivinado, hay redundancia en los métodos. Un poco de conocimiento sobre cómo se comportan las funciones bajo diferenciación, combinado con algún requisito físico, es suficiente para aislar rápidamente la forma de la solución, con coeficientes desconocidos que se igualarán a su problema específico.

Dado que los tres son más o menos equivalentes, use lo que mejor le parezca; sin embargo, algunos son más útiles que otros dependiendo de la situación en cuestión.

Usar exponenciales complejas y luego tomar la parte real al final es útil para resolver problemas más complicados, por ejemplo, en oscilaciones armónicas simples forzadas con amortiguación:

$$\ddot x +\gamma \dot x+\omega_0^2x=\frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$$

Buscamos una solución de estado estacionario. En el plano complejo, la ecuación de movimiento es

$$\ddot{\widetilde{x}} +\gamma \dot{\widetilde{x}} +\omega_0^2{\widetilde{x}}=\frac{F_0}{m}e^{i\omega t}$$

Resolvemos sustituyendo en la solución de prueba

$${\widetilde{x}}=Ae^{i(\omega t + \phi)}$$

que es una solución compleja, y esperaríamos hasta el final (después de hacer todas las diferenciaciones y sustituciones) para tomar la parte real para obtener la solución física.

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Pero para situaciones más simples como

$$\ddot x +\omega ^2x=0$$

Está absolutamente bien usar el método 1:

$$x=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$

Pero al menos debe haber un significado físico para abordar esto en los diferentes métodos que agradecería si alguien pudiera explicar.

Hay muchos problemas que se pueden resolver usando (aparentemente) diferentes herramientas matemáticas. Es un error creer que estos diferentes enfoques tienen un significado diferente.

Está tratando de leer más en el proceso de lo que se necesita.

Matemáticamente, obtendrá el mismo resultado independientemente del enfoque que adopte. Los tres resultados son formas diferentes de la misma expresión.

Cualquier significado proviene del contexto en el que se usa su resultado.

En algunos problemas los conceptos de fase, frecuencia y amplitud tienen más sentido. En algunos contextos, la fase no es necesariamente útil, pero la forma que es una superposición de dos funciones es más útil. En algunas situaciones, el uso de formas complejas simplemente se interpondría en el camino de la necesidad práctica.

No existe una regla estricta sobre lo que funciona, y usar este problema en particular es engañoso porque los problemas reales rara vez funcionan tan bien. Puede ser importante al encontrar soluciones aproximadas a algunos problemas (todo lo que a menudo es posible) convertir la forma esperada de la solución en una que sea significativa en el contexto del problema. Esto es algo así como un arte y se vuelve más natural con la práctica y la familiaridad con el problema específico.