¿Qué es una forma cerrada para esta suma combinatoria?

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¿Qué es una forma cerrada para esta suma combinatoria?

suma
forma cerrada
Matemáticas
diferencias finitas
relaciones de recurrencia
coeficientes binomiales

Allawonder

Principalmente quería resolver el sistema de recurrencia.

C_{k} = \frac{1}{pag} (\binom{pag}{k}) - C_{k - 1}, C_{0} = 0,

$c_k=\frac 1p{p\choose k}-c_{k-1},\\c_0=0,$ para cualquier entero

1 \leq k \leq \frac{pag - 1}{2},

$1\le k\le \frac{p-1}{2},$ dónde

p

$p$ es cualquier primo impar. solo pude ver eso

c_{k}

$c_k$ puede ser representado por la suma

\sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{(- 1)^{i}}{pag} (\binom{pag}{k - i}) .

$\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{p}{p\choose {k-i}}.$

Sin embargo, me gustaría una forma cerrada para esta suma, en términos de funciones elementales, si existe. (O si puede pasar directamente del sistema de recurrencia a una solución de forma cerrada, todo estaría bien. Todo lo que necesito es la solución en forma cerrada).

Gracias.

Respuestas (2)

¿Qué es una forma cerrada para esta suma combinatoria?

Gary · Answer 1

Multiplicando ambos lados de la recurrencia por $x^k$ y sumando para $k\geq 1$ da

C (X) = \frac{1}{pag} ((1 + X)^{pag} - 1) + X C (X),

$C(x) = \frac{1}{p}((1 + x)^p - 1) + xC(x),$ es decir,

C (X) = \frac{(1 + X)^{pag} - 1}{pag (1 + X)} = \frac{1}{pag} ((1 + X)^{pag - 1} - \frac{1}{1 + X}),

$C(x) = \frac{{(1 + x)^p - 1}}{{p(1 + x)}} = \frac{1}{p}\left( {(1 + x)^{p - 1} - \frac{1}{{1 + x}}} \right),$ dónde

C (x)

$C(x)$ es la función generadora de

c_{k}

$c_k$ . De esto,

C_{k} = \frac{1}{pag} ((\binom{pag - 1}{k}) - (- 1)^{k}) .

$c_k = \frac{1}{p}\left( {\binom{p - 1}{k} - ( - 1)^k } \right).$

Rob Pratt · Answer 2

WolframAlpha afirma que esta suma se reduce a

\frac{(pag - k) (\binom{pag}{k}) - (- 1)^{k} pag}{{pag}^{2}},

$\frac{(p - k) \binom{p}{k} - (-1)^k p}{p^2},$ lo que simplifica aún más a

\frac{pag (\binom{pag - 1}{k}) - (- 1)^{k} pag}{{pag}^{2}} = \frac{(\binom{pag - 1}{k}) - (- 1)^{k}}{pag} .

$\frac{p \binom{p-1}{k} - (-1)^k p}{p^2}=\frac{\binom{p-1}{k} - (-1)^k}{p}.$

¿Qué es una forma cerrada para esta suma combinatoria?

Allawonder

Respuestas (2)

Gary

Rob Pratt

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