Física del estado sólido: ¿Cuándo uso las leyes clásicas?

Para la mecánica ondulatoria existe la velocidad de fase y la velocidad de grupo. por la energia$E~=~\hbar\omega$la velocidad de fase es

$$v_p~=~\frac{\omega}{k}~=~\frac{\hbar}{2m}(k~+~ck^3).$$ Esta es la velocidad de un frente de onda, o donde la fase de la onda es constante. También está la velocidad de grupo que es $$v_g~=~\frac{\partial\omega}{\partial k}~=~\frac{\hbar}{m}(k~+~2ck^3).$$

La idea clásica sugerida en esta pregunta es que$k^2~+~ck^4~=~k'^2$de modo que

$$p'~=~\hbar k'~=~\hbar k\sqrt{1~+~ck^2}$$ Esta es una definición diferente del impulso y, por lo tanto, de la velocidad. Diría que un mejor enfoque es escribir el hamiltoniano o la energía de acuerdo con $p~=~\hbar k$ $$H~=~\frac{1}{2m}\left(p^2~+~\frac{c}{\hbar^2}p^4\right).$$ Este hamiltoniano es un operador para $p~\rightarrow~-i\partial_x$. Ahora pon la función de onda $\psi(x,t)~=~Ae^{-ikx~+~i\omega t}$en la ecuación de Schrödinger para llegar a $$H\psi~=~i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}$$ encontrar $$\hbar\omega~=~\frac{\hbar^2}{2m}\left(k^2~+~ck^4\right),$$ que concuerda con la velocidad de fase anterior.

Si insistiera en hacer una especie de forma clásica con el hamiltoniano anterior con$H~=~E$llegarás a una ecuación bastante complicada

$$p^2~=~-\frac{\hbar^2}{2c}\left(1~-~\sqrt{1~+~\frac{8mc}{\hbar^2}E}\right).$$ Esto es de la ecuación cuadrática y la elección con $p^2~=~0$en $E~=~0$. Si tu dejas $E~=~\hbar\omega$no es difícil ver que esto recupera el resultado anterior con la ecuación de Schrödinger.