Generalización de los estados de densidad de los fonones.

Question

Generalización de los estados de densidad de los fonones.

fonones
Física
electrones
Densidad de estados
física-del-estado-sólido

Mari3

¿Es posible generalizar la densidad de estados para fonones? $\left( \left(\frac{L}{2\pi} \right )^3 \int \frac{dS_\omega}{v_g}\right)$ a una densidad de estados que también es aplicable a los electrones de Bloch?

pensé en cambiar $v_g$ a $v_f$ (la velocidad de Fermi), pero eso no concordaba con la densidad de estados de los electrones.

por simetría

que es exactamente

d S_{ω}

$dS_\omega$ ¿aquí? estas asumiendo

v_{g}

$v_g$ es una constante?

Mari3

@BySymmetry: el elemento de volumen entre las superficies de frecuencia constante

ω

$\omega$ y

ω + d ω

$\omega + d\omega$ es el cilindro de base

d S_{ω}

$dS_\omega$ ,

v_{g}

$v_g$ no es constante

Respuestas (2)

Generalización de los estados de densidad de los fonones.

que es exactamente $dS_\omega$ ¿aquí? estas asumiendo $v_g$ es una constante?
@BySymmetry: el elemento de volumen entre las superficies de frecuencia constante $\omega$ y $\omega + d\omega$ es el cilindro de base $dS_\omega$ , $v_g$ no es constante

Inmaurer · Answer 1

Las siguientes ecuaciones para la densidad de estados son aplicables en todas las situaciones (3D):*

gramo (mi) = \int \frac{d k}{4 π^{3}} d (mi - mi (k)) = \int_{S (mi)} \frac{d S}{4 π^{3}} \frac{1}{| \nabla mi (k) |}

$g\left(E\right) = \int \frac{d\mathbf{k}}{4\pi^3} \delta\left(E-E\left(\mathbf{k}\right)\right) = \int_{S\left(E\right)} \frac{dS}{4\pi^3}\frac{1}{\left|\nabla E\left(\mathbf{k}\right)\right|}$

Consulte las ecuaciones 8.57 y 8.63 de Ashcroft y Mermin (y la sección circundante). Básicamente estás citando la parte más a la derecha de la ecuación; $\left|\nabla E\left(\mathbf{k}\right)\right|$ es proporcional a la velocidad del grupo: $\mathbf{v}\left(E\right) = \frac{1}{\hbar} \nabla E\left(\mathbf{k}\right)$ (ecuación de Ashcroft y Mermin 8.51), que se deriva del hecho de que $E = \hbar \omega$ .

Sin embargo, la velocidad del grupo no es constante. La velocidad de Fermi es la velocidad de grupo solo para ciertas $\mathbf{k}$ --- no para todos $\mathbf{k}$ . Entonces, si quiere usar la ecuación, necesita que la velocidad del grupo sea una función de $\mathbf{k}$ .

Tenga en cuenta que para los fonones, a veces puede aproximar la velocidad del grupo como constante porque su relación de dispersión es aproximadamente lineal cerca de $\mathbf{k} = 0$ . Excepto en situaciones especiales (por ejemplo, el grafeno), los electrones de Bloch tienen masa, por lo que su relación de dispersión no será lineal y su velocidad de grupo no será constante.

EDITAR:

* Esas ecuaciones son para electrones, y la convención más común para electrones es incluir un factor adicional de 2 porque los estados de los electrones son (normalmente) doblemente degenerados. A veces, este factor de degeneración se mantiene separado de la densidad de los estados porque la degeneración no está grabada en piedra. Por ejemplo, puedes deshacerte de él aplicando un campo magnético.

¿Por qué la velocidad del grupo es igual a $\nabla E(k)$ , Creo que es $\nabla_k\omega$ , ¿son esas 2 definiciones equivalentes?
$E=\hbar\omega$ , entonces debería decir proporcional en lugar de igual.
Debo agregar que, dependiendo de cómo haya definido la densidad de estados ( $g\left(\omega\right)d\omega$ contra $g\left(E\right)dE$ ), ganarás o perderás un factor de $\hbar$ (o equivalentemente cambiar de $v_g$ a $\left|\nabla E\left(\mathbf{k}\right)\right|$ ). Sigue siendo la misma ecuación en el fondo. Los fonones y los electrones no reciben un tratamiento diferente. Es simplemente una cuestión de cuántos modos hay en el rango $\left[E, E+dE\right]$ .
Gracias por eso, ¿cuándo tengo la relación de dispersión de electrones? (Uso este libro: introducción a la física del estado sólido - Kittel) ¿Cómo debo integrar sobre dS, ya que nada en esa integral depende directamente de S?
Cuando se habla de electrones, generalmente se usa el término "estructura de banda" en lugar de "relación de dispersión". Existen muchos métodos para calcular o medir la estructura de bandas de un material. En general, pueden ser bastante complicados. ¿Con qué sistema estás tratando? En cuanto al cálculo de la densidad de estados a partir de la estructura de la banda, vea mi respuesta a esta publicación physics.stackexchange.com/questions/303140/…

Mari3 · Answer 2

Pensé en esto: Densidad de estados = $\left( \left(\frac{L}{2\pi} \right )^3 \int \frac{dS_\omega}{v_g}\right)$ con $v_g = \frac{d\epsilon}{dk}$ , con $\epsilon = \hbar^2k^2/2m$ entonces es $v_g = \hbar^2k/2 = \hbar^2/m \sqrt{2\epsilon m /\hbar^2}$ y por lo tanto para la densidad de estados (con $\int d_S = 4\pi k^2$ ) Puedo llegar a $v/2\pi^2 * 2m/\hbar^2 \sqrt{\epsilon}* \sqrt{m/2\epsilon\hbar^2}$ . Cual es el resultado sin factor 2 erroneo, hay alguien que vea mi falla?

Supongo que mentí un poco. Cuando la densidad de estados se define para electrones, generalmente incluye un factor adicional de 2 porque 2 electrones pueden entrar en cada estado. (Es decir, los estados se degeneran dos veces). Consulte la ecuación 8.53 de Ashcroft y Mermin y la nota al pie 23 en la misma página. Dicho esto, en algunos contextos, este factor de degeneración se mantiene separado de la densidad de estados. Es más una cuestión de notación que de física. Actualizaré mi respuesta a continuación.

Generalización de los estados de densidad de los fonones.

Mari3

por simetría

Mari3

Respuestas (2)

Inmaurer

Mari3

Inmaurer

Inmaurer

Mari3

Inmaurer

Mari3

Inmaurer

Densidad de fonones de estados

En un material, ¿cómo surge la ecuación del calor a partir de los fonones? ¿Y de los electrones?

¿Es esta ecuación para la densidad de estados de un material isotrópico elástico una aproximación?

Ruptura de simetría y fonones desnudos

Densidad de estados en gas de electrones NO libres

Pregunta sobre la cuantización de la vibración de red (fonones)

¿Por qué la cuantización del vector de onda del fonón no se debe a la mecánica cuántica?

¿Densidad numérica de fonones LO y LA en función de la temperatura?

¿Qué es realmente el vector de onda en el contexto de los fonones y la vibración de la red?

¿Las frecuencias de fonones acústicos son siempre lineales en kkk?