Número de bobinado en la topología de monopolos magnéticos.

Question

Número de bobinado en la topología de monopolos magnéticos.

Anónimo

Estoy leyendo sobre monopolos magnéticos de una variedad de fuentes, por ejemplo. las conferencias de Jeff Harvey. . Habla de algo llamado el devanado. $N$ , que se utiliza para calcular el flujo magnético. Busqué en Internet pero no puedo entender el cálculo realizado en este caso particular.

$g=-\frac{1}{8}\int_{S^2_\infty} Tr([d\hat{\Phi},d\hat{\Phi}],\hat{\Phi})$

Entonces el autor dice que

Ahora $\Phi$ se restringe a un mapa $\Phi : S_\infty^2 → S^2$ , donde el objetivo es la esfera unitaria en $su(2)$ . Este mapa tiene cierto grado $N$ , y es fácil verificar que el lado derecho de la ecuación anterior es $−2\pi$ veces esto. Por lo tanto $g = −2\pi N$ .

Qué es $N$ , el número de bobinado también llamado como el grado en el mapa? Por lo que he aprendido, es la cantidad de veces que enrollas un objeto con el otro, entonces, ¿no debería ser la integral? $N*4\pi$ , como $4\pi$ es el área superficial de $S^2$ .

c.p.

Supongo que estás trabajando con la teoría SU(2)-Yang-Mills-Higgs, ¿verdad? qué es

\hat{Φ}

$\hat{\Phi}$ ? ¿Es este campo escalar el componente de tiempo de un potencial de calibre estático en Minkowski, después de hacer una reducción dimensional?

usuario7757

@JorgeCampos, estoy trabajando con SU(2) yang-mills.

\hat{Φ}

$\hat{\Phi}$ , es la parte angular del campo de Higgs. El campo total de higgs está dado por

Φ = h \hat{Φ}

$\Phi=h\hat{\Phi}$ , dónde

h

$h$ , es una función de la distancia radial

r

$r$ , donde norma

\hat{Φ} = 1

$\hat{\Phi}=1$ .

Respuestas (2)

Número de bobinado en la topología de monopolos magnéticos.

Supongo que estás trabajando con la teoría SU(2)-Yang-Mills-Higgs, ¿verdad? qué es $\hat{\Phi}$ ? ¿Es este campo escalar el componente de tiempo de un potencial de calibre estático en Minkowski, después de hacer una reducción dimensional?
@JorgeCampos, estoy trabajando con SU(2) yang-mills. $\hat{\Phi}$ , es la parte angular del campo de Higgs. El campo total de higgs está dado por $\Phi=h\hat{\Phi}$ , dónde $h$ , es una función de la distancia radial $r$ , donde norma $\hat{\Phi}=1$ .

c.p. · Answer 1

No encontré la ecuación y el argumento que citaste en ese documento. Pero, sí, es el grado Brouwer, grado $(\hat{\Phi})$ , que es igual al número de monopolo

norte \equiv \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} T r (F_{A} \land D_{A} (Φ)) = \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} d (T r (Φ) F_{A}) = \frac{1}{4 π} \int_{S_{\infty}^{2}} T r (Φ F_{A})

$N\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{Tr}(F_A\wedge D_A(\Phi))=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} d(\mathrm{Tr}(\Phi)F_A) =\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr}(\Phi F_A)$

= \frac{1}{4 π} \int_{S_{\infty}^{2}} T r (\hat{Φ} F_{A})

$=\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr}(\hat{\Phi} F_A)$

donde el uno ha usado la identidad de Bianchi, el teorema de Stokes, para obtener las dos primeras igualdades, y Jaffe & Taubes muestran en su libro que se puede reemplazar $\Phi$ por $\hat{\Phi}$ . Ahora bien, esto coincide con el grado de brower, para el cual existe una fórmula explícita:

norte = d mi gramo (\hat{Φ}) = - \frac{1}{4 π} \int_{S_{\infty}^{2}} T r (\hat{Φ} d \hat{Φ} \land d \hat{Φ}) \in Z = π_{2} (S^{2}) = [S^{2}, S^{2}]

$N=\mathrm{deg}(\hat{\Phi})=-\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr(\hat{\Phi} d\hat{\Phi}\wedge d\hat{\Phi}})\in \mathbb{Z}=\pi_2(S^2)=[S^2,S^2]$ (lo que escribiste). Esto se entiende físicamente como un potencial de pared infinito, que separa los sectores monopolares correspondientes a diferentes números enteros. Ahora, para responder realmente a su pregunta, puede calcular esta integral para la solución del monopolo de t'Hooft-Polyakov, para la cual

\hat{ϕ} = (pecado (θ) porque ϕ, pecado θ pecado ϕ, porque θ)_{i} \cdot σ^{i},

$\hat{\phi}=(\sin(\theta)\cos\phi,\sin\theta \sin\phi,\cos\theta)_i\cdot \sigma^i,$ y encontrarás

norte = - \frac{1}{4 π} \int_{S_{\infty}^{2}} T r (\hat{Φ} d \hat{Φ} \land d \hat{Φ}) = + \frac{1}{4 π} \int_{[0, 2 π]} \int_{[0, π]} pecado θ d θ \land d ϕ = 1.

$N=-\frac{1}{4\pi}\int_{S^2_\infty} \mathrm{Tr(\hat{\Phi} d\hat{\Phi}\wedge d\hat{\Phi}})=+\frac{1}{4\pi}\int_{[0,2\pi]} \int_{[0,\pi]}\sin\theta d\theta\wedge d\phi=1.$

Hice esta pregunta exactamente porque no sé qué es el grado de brower, no pude entenderlo desde Internet debido a la referencia a la topología algebraica que no he estudiado. Por favor, ¿podría explicar qué es esto y cómo llegó a la fórmula explícita del grado de brower?

David Bar Moshé · Answer 2

N es igual al número de puntos en el $S_2$ esfera en el infinito asignada al mismo punto de la $S_2$ Múltiple de vacío de Higgs. La integral es una invariante topológica que depende solo de este número y no de los detalles del mapa. A continuación, te describiré una familia de estos mapas:

Una forma de realizar la integral es usar la coordenada de proyección estereográfica :

$z = tan(\frac{\theta}{2}) e^{i\phi}$

En este sistema de coordenadas, un mapa de número de bobinado $N$ se verá como:

$z \rightarrow Z= z^N$

El elemento de superficie de la esfera en estas coordenadas es:

$d \mu = \frac{dzd\bar{z}}{1+z \bar{z}}$

Observación: En estas coordenadas, las componentes de Higgs están dadas por:

$\Phi_x = 2\frac{Re(Z)}{1+Z\bar{Z}}$

$\Phi_y = 2\frac{Im(Z)}{1+Z\bar{Z}}$

$\Phi_z = \frac{1-Z\bar{Z}}{1+Z\bar{Z}}$

Usando estas coordenadas, no es difícil ver que el valor integral (1.43) es N.

Número de bobinado en la topología de monopolos magnéticos.

Anónimo

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David Bar Moshé

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