Cálculo del término theta a partir del diagrama triangular

Question

Cálculo del término theta a partir del diagrama triangular

Física
helicidad
Feynman-diagramas
anomalías cuánticas
teoría cuántica de campos
cromodinámica-cuántica

Tomás

el quiral $U(1)$ La anomalía en QCD se puede calcular exactamente mediante diagramas de Feynman de un bucle, por ejemplo, mediante el famoso diagrama triangular . Actualmente estoy realizando el cálculo para obtener una mejor comprensión de la QCD $\theta$ -término , $\mathcal{L}\propto\theta G\tilde{G}$ , dónde $G$ es el tensor de intensidad de campo de gluones y $\tilde{G}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}G^{\rho\sigma}$ es su Hodge dual .

Sin embargo, estoy atascado en el último paso del cálculo. Después de evaluar el diagrama triangular con el enfoque habitual de parametrización de Feynman, desplazamiento de la integral de momento, explotando las propiedades de simetría de la integral de momento, ..., finalmente obtengo la expresión

{gramo}^{2} T r (T^{a} T^{b}) ε_{m v ρ σ} q_{1}^{m} q_{2}^{v} ε_{1}^{ρ} ε_{2}^{σ},

$g^2 Tr(T^aT^b)\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}q_1^\mu q_2^\nu \varepsilon_1^\rho \varepsilon_2^\sigma,$

dónde $g$ es la fuerza de acoplamiento QCD, $T^a$ son los generadores del grupo de Lie, $\varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ es el tensor épsilon, $q_1$ y $q_2$ son los momentos entrantes del gluón, y $\varepsilon_1$ y $\varepsilon_2$ son los estados de helicidad del gluón.

el rastro $Tr(T^aT^b)$ es simple $\delta^{ab}$ , pero no sé cómo manejar los momentos y los estados de helicidad. ¿Cómo reescribo esta expresión en el resultado final?

T r (GRAMO \tilde{GRAMO}),

$Tr(G\tilde{G}),$

para obtener lo antes mencionado $\theta$ -¿término?

Respuestas (1)

Cálculo del término theta a partir del diagrama triangular

prahar · Answer 1

Ahora desea volver al espacio de posición. Lo haré aquí muy esquemáticamente, lo que da la respuesta sin hacer un seguimiento del factor general.

Esencialmente, bajo la transformada de Fourier, $q_{i\mu} \to \partial_\mu$ y $\epsilon_{i\mu} \to A_\mu$ . Entonces

{gramo}^{2} Tr (T^{a} T^{b}) ε_{m v ρ σ} q_{1}^{m} q_{2}^{v} ϵ_{1}^{ρ} ϵ_{2}^{σ} \to {gramo}^{2} Tr (T^{a} T^{b}) ε_{m v ρ σ} \partial^{m} A^{v} \partial^{ρ} A^{σ} \sim {gramo}^{2} Tr (T^{a} T^{b}) ε_{m v ρ σ} F^{m v} F^{ρ σ} \sim {gramo}^{2} Tr (T^{a} T^{b}) * (F \land * F) \sim {gramo}^{2} * Tr (F \land * F)

$g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} q_1^\mu q_2^\nu \epsilon_1^\rho \epsilon_2^\sigma \to g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} \partial^\mu A^\nu \partial^\rho A^\sigma \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \varepsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu} F^{\rho\sigma} \sim g^2 \text{Tr}(T^aT^b) \ast ( F \wedge \ast F ) \sim g^2 \ast \text{Tr} (F \wedge \ast F )$

¿Podría explicarme por qué sus proporcionalidades siguen siendo válidas para los campos de calibre no abelianos? veo que $\partial^\mu A^\nu$ es proporcional a $F^{\mu\nu}$ si $F$ es la intensidad del campo de fotones abeliano. Pero una fuerza de campo de gluones no abeliana $G$ también contiene el término adicional $f^{abc}A^b A^c$ , que es bilineal en los campos de gluones $A$ . Por lo que veo, estos términos adicionales de alguna manera tienen que desaparecer, ¿se están cancelando en algún lugar del cálculo?

Cálculo del término theta a partir del diagrama triangular

Tomás

Respuestas (1)

prahar

Tomás

Feynman gobierna con estados de helicidad.

Derivación de las reglas de Feynman a partir de un Lagrangiano para factores de vértice para interacciones "más complicadas"

La lógica de la gran expansión de NNN

¿Es la anomalía quiral la única responsable de tener efectos instantáneos (y por lo tanto, el término θ−θ−\theta) en la acción QCD?

notación de doble línea (tres y cuatro vértices de gluones): ¿cómo es esto una simplificación?

Anomalías de QCD

¿Cómo derivar la corriente de Goldstone-Wilczek?

¿En qué sentido los diagramas de bucle son correcciones cuánticas?

"Propagador inverso" dependiente del corte para la renormalización

¿Cómo calcular la acción efectiva cuántica de los diagramas 1PI Feynman?