Fermiones en el mismo estado

Gran pregunta que expone una terminología realmente confusa. Esta es una respuesta bastante larga, y el remate está básicamente en el penúltimo párrafo, pero creo (espero) que valga la pena leer la respuesta completa porque traté de dar una descripción algo sistemática de los estados fermiónicos usando un específico, ejemplo simple en el camino.

En primer lugar, usemos la notación de Dirac; hace las cosas un poco más claras en mi opinión. También restrinjamos la discusión inicial a los estados de espín de dos$1/2$partículas (que por lo tanto son fermiones) de manera que el espacio de Hilbert para el estado de cada partícula es bidimensional.

El espacio de Hilbert$\mathcal H_{1/2}$por un solo giro-$1/2$partícula está atravesada por los vectores$|+\rangle, |-\rangle$correspondiente a que el giro es "arriba" y "abajo" respectivamente. El espacio de Hilbert para el sistema compuesto de dos spin distinguibles$1/2$partículas es el producto tensorial$\mathcal H=\mathcal H_{1/2}\otimes\mathcal H_{1/2}$del giro único$1/2$Espacio de Hilbert con istelf. Este espacio de Hilbert es de cuatro dimensiones y está dividido por los cuatro estados

$$\begin{align} |+\rangle|+\rangle, \qquad |+\rangle|-\rangle, \qquad |-\rangle|+\rangle,\qquad |-\rangle|-\rangle \end{align}$$ Cada estado del sistema es una combinación lineal de estos cuatro. Supongamos ahora que, en lugar de que los espines sean idénticos, resulta que el espacio físico de Hilbert del sistema ya no es el producto tensorial; es un subespacio del producto tensorial llamado "subespacio antisimétrico" que se define de la siguiente manera. Definimos el operador de intercambio $P$en $\mathcal H$como el único operador lineal con la siguiente acción en cualquier estado de base de producto tensorial $$\begin{align} P|i\rangle|j\rangle = |j\rangle|i\rangle \end{align}$$ En otras palabras, el operador de intercambio solo intercambia los dos factores de cualquier estado del producto. Decimos que un estado $|\psi\rangle$en el producto tensorial el espacio es antisimétrico siempre que $$\begin{align} P|\psi\rangle = -|\psi\rangle \end{align}$$ El subespacio antisimétrico de $\mathcal H$se define entonces como el conjunto de todos los vectores que son antisimétricos. Entonces tenemos el siguiente hecho físico:

Para un sistema que consta de dos fermiones idénticos, el estado del sistema debe residir en el subespacio antisimétrico del producto tensorial de los espacios de Hilbert de una sola partícula.

Ahora volvamos al ejemplo del giro para ver qué significa esto concretamente. Un estado arbitrario$|\psi\rangle$de los dos giran$1/2$sistema puede escribirse como

$$\begin{align} |\psi\rangle = c_{++}|+\rangle|+\rangle + c_{+-}|+\rangle|-\rangle + c_{-+}|-\rangle|+\rangle + c_{--}|-\rangle|-\rangle \end{align}$$ El operador de intercambio que actúa en este estado da $$\begin{align} P|\psi\rangle = c_{++}|+\rangle|+\rangle + c_{+-}|-\rangle|+\rangle + c_{-+}|+\rangle|-\rangle + c_{--}|-\rangle|-\rangle \end{align}$$ pero para fermiones idénticos, el estado debe ser antisimétrico, y esto implica restricciones en los coeficientes $$\begin{align} c_{++} = 0, \qquad c_{--} = 0, \qquad c_{-+} = -c_{+-} \end{align}$$ por lo que el estado fermiónico más general (normalizado) para el sistema es $$\begin{align} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle - |-\rangle|+\rangle) \end{align}$$ Cuando decimos que las partículas no pueden ocupar el mismo estado, esto es solo otra forma de señalar en este caso que los coeficientes de los estados $|+\rangle|+\rangle$y $|-\rangle|-\rangle$debe desaparecer; estos son estados en los que ambos giros están "arriba" o ambos están "abajo".

En particular, dices

pero sigue siendo solo un estado, ocupado por dos fermiones.

Bueno, ciertamente eso es cierto ya que el estado (puro) de cualquier sistema mecánico cuántico debe ser algún vector en algún espacio de Hilbert. Sin embargo, el ejemplo anterior muestra que la terminología del "mismo estado" se puede considerar en términos de los dos factores tensoriales en el espacio de Hilbert; es decir, los vectores de base del producto en los que los estados de una sola partícula de ambas partículas son los mismos deben excluirse del espacio de Hilbert.

Nota: me he concentrado en ejemplos de baja dimensión, el análisis pasa análogamente para espacios de Hilbert de cualquier dimensión; el estado fermiónico son siempre los del subespacio antisimétrico, por lo que cualquier vector de base de producto en el que ambos factores sean iguales debe excluirse de la base espacial de Hilbert; tales vectores no viven en el subespacio antisimétrico.

La idea es realmente simple. Sin embargo, la mayoría de los libros generalmente usan términos descuidados o no brindan una discusión explícita sobre este tema, por lo que generalmente confunde a los estudiantes. La frase correcta debería ser:

El fermión individual en un sistema no puede tener la misma función de onda de una sola partícula

Está claro que todo el sistema en sí mismo siempre se describe mediante una función de onda total.$\Psi$. Sin embargo, si las partículas no interactúan , podemos resolver la función de onda de cada partícula individual$\psi$por separado y construir la función de onda total como:

$$\Psi(r_1,r_2,...,r_n) \propto \prod_{\sigma_i} \sigma_i \psi(r_i)$$

dónde$\sigma_i$son todas las posibles permutaciones de signos para fermiones y bosones. La simetrización y la antisimetrización son los resultados directos de la indistinguibilidad de las partículas.

Entonces, ¿por qué generalmente discutimos sobre la función de onda de una sola partícula?$\psi$en lugar de la función de onda total$\Psi$? Aunque es posible medir la función de onda total, sin embargo, cada partícula individual es en realidad el subsistema medible más pequeño (correspondiente a la traza parcial). Cuando tratamos cada partícula por separado, aparece un fenómeno interesante como el entrelazamiento.