Fermión Libre y Delta de Dirac

Tomando este documento (Zinn-Justin: Six-Vertex, Loop and Tiling Modles: Integrability and combinatorics) como referencia (capítulo 1), me gustaría hacer una pregunta. En primer lugar algunos puntos fijos:

1. La condición de cuantización habitual (en una firma siutable): $$\{ψ(z),ψ(w)\} = δ(z-w);\tag{1}$$
2. Como (1.1), voltea un signo: $$ψ(z)=∑_{k∈\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}ψ_kz^{-k-\frac{1}{2}}, \qquad\qquad\qquad ψ^*(w)=∑_{k∈\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}ψ^*_kw^{k-\frac{1}{2}};\tag{2}$$
3. Entonces la relación de anticonmutación: $$\{ψ_r,ψ^*_s \}= δ_{r,s}.\tag{3}$$

PROBLEMA

Me gustaría conseguir$(1)$usando$(2)$y$(3)$pero

$$\begin{equation} \begin{aligned} \{ψ(z),ψ^*(w)\} &= ∑_{r∈\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}∑_{s∈\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}z^{-k-\frac{1}{2}}w^{k-\frac{1}{2}}\{ψ_r,ψ^*_s\}\\ &= ∑_{r∈\mathbb{Z}+\frac{1}{2}}z^{-r-\frac{1}{2}}w^{r-\frac{1}{2}}\\ &= w^{-1}∑_{n∈\mathbb{Z}}\left(\frac{w}{z}\right)^n \end{aligned} \end{equation}$$

en este último pasaje establezco$r+\frac{1}{2}=n$. Ahora el problema es evaluar esa serie. Claro que si, ingenuamente

$$\begin{equation} \begin{aligned} ∑_{n∈\mathbb{Z}}\left(\frac{w}{z}\right)^n &= ∑_{n=0}^∞ \left(\frac{w}{z}\right)^n + ∑_{n=0}^{∞}\left(\frac{z}{w} \right) -1\\ &= \frac{1}{1-\frac{w}{z}} + \frac{1}{1-\frac{z}{w}} -1\\ &= 0, \end{aligned} \end{equation}$$

esta aparente paradoja, creo, se debe al radio de convergencia de la serie: las primeras convergen si$|w|<|z|$, mientras que el segundo si$|z|<|w|$.

PREGUNTA

¿Cómo puedo resolver esta paradoja y obtener (con algunos$δ$-representación y continuación analítica) el resultado$(1)$?