Relaciones de conmutación de los generadores del grupo conforme

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Relaciones de conmutación de los generadores del grupo conforme

Física
conmutador
mentira-álgebra
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

c y f

Mi pregunta es de la página 98 del libro de Di Francesco sobre la teoría del Campo Conformal. Él da las seis relaciones de conmutación que no desaparecen entre los elementos. $P_{\mu}, D, L_{\mu \nu}$ y $K_{\mu}$ que comprende el espacio de cuatro dimensiones de los generadores del grupo conforme. Luego se reescriben definiendo un conjunto de cuatro generadores más:

j_{m v} = L_{m v}, j_{- 1, m} = \frac{1}{2} ({PAG}_{m} - k_{m}), j_{- 1, 0} = D, j_{0, m} = \frac{1}{2} ({PAG}_{m} + k_{m}),

$J_{\mu \nu} = L_{\mu \nu}\,\,\,,\,\,\,J_{-1, \mu} = \frac{1}{2}(P_{\mu} - K_{\mu})\,\,\,,\,\,\,J_{-1,0} = D\,\,\,,\,\,\,J_{0,\mu} = \frac{1}{2}(P_{\mu} + K_{\mu}),$ y creo que la motivación para hacerlo es que las seis relaciones de conmutación mencionadas anteriormente puedan reformularse con elocuencia en una sola relación de conmutación de una línea

[j_{a b}, j_{C d}] = i (η_{a d} j_{b C} + η_{b C} j_{a d} - η_{a C} j_{b d} - η_{b d} j_{a C})

$[J_{ab}, J_{cd}] = i(\eta_{ad}J_{bc} + \eta_{bc}J_{ad} - \eta_{ac}J_{bd} - \eta_{bd}J_{ac})$ También dice que

a, b \in {- 1, 0, 1, \dots, d}

$a,b \in \left\{-1,0,1,\dots,d\right\}$ y que los nuevos generadores obedezcan

S O (d + 1, 1)

$SO(d+1,1)$ relaciones de conmutación (que creo que es la ecuación de una línea anterior).

Mi pregunta es: ¿Qué significan los índices? $a,b$ representan y qué significa la notación $SO(d+1,1)$ ¿significar? creo que hay $d$ dimensiones espaciales, pero no puedo ver cuál es el significado de la $-1$ y $0$ los elementos son.

Muchas gracias.

Brian polillas

Como nadie ha dicho nada todavía, haré una conjetura total. A ver si tiene sentido. Hay

d

$d$ dimensiones espaciales. El índice 0 es para el tiempo (estoy bastante seguro de esto). El índice -1 tiene algo que ver con el

D

$D$ operador, que supongo que son dilataciones.

S O (d + 1, 1)

$SO(d+1,1)$ es solo el grupo de transformaciones de lorentz en el espacio de minkowski con

d + 1

$d+1$ dimensiones espaciales en lugar de

d

$d$ . Lo único confuso para mí es lo que

η_{- 1 - 1}

$\eta_{-1-1}$ se supone que debe ser. supongo

η_{- 1 - 1}

$\eta_{-1-1}$ se supone que tiene el signo opuesto de los otros elementos diagonales de

η

$\eta$ , pero tal vez

η_{00}

$\eta_{00}$ es el raro.

Respuestas (2)

Relaciones de conmutación de los generadores del grupo conforme

Como nadie ha dicho nada todavía, haré una conjetura total. A ver si tiene sentido. Hay $d$ dimensiones espaciales. El índice 0 es para el tiempo (estoy bastante seguro de esto). El índice -1 tiene algo que ver con el $D$ operador, que supongo que son dilataciones. $SO(d+1,1)$ es solo el grupo de transformaciones de lorentz en el espacio de minkowski con $d+1$ dimensiones espaciales en lugar de $d$ . Lo único confuso para mí es lo que $\eta_{-1-1}$ se supone que debe ser. supongo $\eta_{-1-1}$ se supone que tiene el signo opuesto de los otros elementos diagonales de $\eta$ , pero tal vez $\eta_{00}$ es el raro.

Frederic Brunner · Answer 1

los índices $a$ y $b$ se eligen de tal manera que insertando diferentes combinaciones de valores de $-1$ a $d$ da solo las seis relaciones de conmutación originales para los generadores de transformaciones de simetría conforme. Como ha sugerido correctamente, el objetivo de esto es reescribir las seis relaciones en forma compacta.

Este último muestra que el grupo conforme en realidad está dado por $\text{SO}(d+1,1)$ , que es el grupo de transformaciones ortogonales especiales en $d+1$ espacial y $1$ dimensiones temporales, donde $d$ es el número de dimensiones espacio-temporales espaciales. $0$ representa el componente de tiempo, mientras que $-1$ es espacial y aparece porque tenemos dilataciones y transformaciones conformes especiales. Tenga en cuenta que eso $-1$ no es una dimensión espacial con respecto al espacio-tiempo sino más bien una dimensión adicional con respecto a la acción grupal.

Hola Federico, muchas gracias por tu respuesta. Entonces, ¿es el caso de que se agregue un componente espacial adicional y un componente temporal para hacer explícito el isomorfismo entre el grupo conforme y SO(d+1,1)? En cierto sentido, estos componentes adicionales son cantidades dimensionales ficticias que se agregan para hacer la conexión con SO(d+1,1)? ¿Podría explicar también cómo se $-1$ aparece porque dimos dilataciones y transformaciones conformes especiales? Gracias de nuevo.
@CAF: Nadie agrega un componente temporal adicional, ya está ahí. El grupo de transformaciones de Lorentz en d dimensiones similares al espacio está dado por SO(d,1), solo hay un componente de tiempo. La adición de dilataciones y transformaciones conformes especiales da como resultado SO(d+1,1). Pero sí, puede interpretar la dimensión adicional como una herramienta para hacer que SO(d+1,1) se manifieste. Llamamos a ese componente adicional $-1$ y asignarlos a los generadores de tal manera que se conserve la naturaleza del objeto.
@CAF Los tensores se convierten en tensores, los vectores en vectores y los escalares siguen siendo escalares. De esta manera, uno puede asignar los índices de forma única.

gn0m0n · Answer 2

Solo siguiendo la respuesta de Frederic. No me obsesionaría demasiado pensando en una métrica que incluya $\eta_{-1-1}$ . La métrica realmente se refiere al espacio-tiempo y no hay una nueva dimensión de espacio-tiempo que hayamos introducido. Es solo una forma de etiquetar los generadores: sus índices no se refieren necesariamente a las dimensiones del espacio-tiempo, aunque lo hacen para la mayoría de los $J$ aquí.

Debes separar un poco la idea del grupo de simetría del espacio-tiempo. Lo que quiero decir es que pareces obsesionado con pensar en SO(3) como el grupo de isometrías del espacio tridimensional y tal vez SO(3,1) como las isometrías del espacio de Minkowski (tal vez no lo sabías la última vez parte pero es cierto), y por lo tanto pensando que necesita un espacio-tiempo más grande para tener SO(d+1,1).

Sin embargo, no es necesariamente el caso de que el grupo de simetría de una teoría en d dimensiones espaciales yn dimensiones temporales sea SO(d,n). Sucede que es cierto para el espacio euclidiano y el espacio de Minkowski sin invariancia conforme, por lo que nos perjudica. Pero en realidad, es solo un prejuicio suponer que el grupo de simetría (máximo) es SO (d, n). Quiero decir, es cierto en la mayoría de los QFT que aprendemos primero. Y además, en teorías con invariancia conforme, SO(d,n) está contenido como un subgrupo, y no necesitábamos preocuparnos de si era parte de un grupo más grande cuando estábamos aprendiendo QFT.

Creo que hay un error en la respuesta de Frederic. El grupo conforme en d dimensiones espaciales y n temporales es SO(d+1,n+1). Entonces, una CFT en el espacio euclidiano 4-D es una representación de SO(5,1) y en el espacio Minkowski 4-D es una representación de SO(4,2).

Una cosa muy interesante sobre todo esto: puede preguntar, ¿qué es un espacio-tiempo donde SO(4,2) realmente son solo rotaciones generalizadas (en oposición a rotaciones + SCT + dilataciones)? Bien, $AdS_5$ ¡es uno! ¡Esta podría ser su primera pista sobre la existencia de la correspondencia AdS-CFT! Una CFT en un espacio-tiempo de 3+1 dimensiones obedece a la misma álgebra que las isometrías de $AdS_5$ . Consulte "ANTI-DE SITTER SPACE" de Ingemar Bengtsson ; las páginas 1 a 5 brindan una introducción agradable y concisa al espacio-tiempo de AdS y sus isometrías.

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