Condición de frontera, expansión de modo y función de partición de una CFT de fermiones libres en un toro

Question

Condición de frontera, expansión de modo y función de partición de una CFT de fermiones libres en un toro

Física
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

ruta integral

He estado siguiendo las notas de Ginsparg ( http://arxiv.org/abs/hep-th/9108028 ) y el gran libro amarillo de Francesco et al sobre la invariancia modular de CFT en un toro, particularmente en el $c=1/2$ (fermión libre) caso.

Pensé que entendía la derivación de la función de partición modular invariante, pero luego me di cuenta de que no. Por ejemplo, en las notas de Ginsparg, el cálculo de la función de partición se basa en la expansión del modo del campo de fermiones libres (digamos caso antiperiódico)

ψ (z) = \sum_{norte \in Z} b_{norte} z^{- norte - 1 / 2},

$\psi(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^{-n-1/2},$ dónde

[L_{0}, b_{- n}] = n b_{n}

$[L_0, b_{-n}]=nb_n$ , y luego la función de partición solo está sumando sobre el

b_{- n} | 0 ⟩

$b_{-n}|0\rangle$ estados Tomando esto, puedo seguir el resto de su derivación.

Sin embargo, esta expansión de modo es para un plano (que puede transformarse en un cilindro, pero no en un toro) -- es solo anti-periódica (periódica si sueltas el $1/2$ ) en una dirección (aquí dirección angular). La expansión anterior nunca puede satisfacer la condición de contorno periódica o antiperiódica en la otra dirección, que en $z$ plano es la dirección radial.

Entonces, para ser específicos, cuando el Sr. Ginsparg estaba calculando el carácter Virasoro para el sector (A,A) (observe la segunda A), digamos en la ecuación. (7.13 a), ¿cuáles son sus autobases para $L_0$ ?

antonio

¿Hay alguna ecuación precisa que no entiendas (por ejemplo, en el libro amarillo)?

ruta integral

@ usuario40085 Ecuación. (7.13 a) en las notas de Ginsparg, o la contrapartida en el gran libro amarillo.

Respuestas (1)

Condición de frontera, expansión de modo y función de partición de una CFT de fermiones libres en un toro

¿Hay alguna ecuación precisa que no entiendas (por ejemplo, en el libro amarillo)?
@ usuario40085 Ecuación. (7.13 a) en las notas de Ginsparg, o la contrapartida en el gran libro amarillo.

antonio · Answer 1

En primer lugar, no es correcto decir que el plano no se puede transformar en un toro. Esto es precisamente lo que hace la traza en la ecuación (7.13a). Déjame ser más preciso. Cuando calcula la función de partición para el fermión libre en el toro, necesita especificar dos tipos de periodicidad.

La primera es la periodicidad "espacial", si piensa en la CFT como una CFT de hoja mundial en la teoría de cuerdas. Es la periodicidad a lo largo de la dirección angular, si piensas en el plano. Dependiendo de esto, $L_0$ toma dos formas ligeramente diferentes:
1. Si el fermión es periódico a lo largo de la dirección angular en el plano (esta es la condición de Ramond), entonces $L_{0}^{R} = \frac{1}{24} + \sum_{metro = 1}^{\infty} metro b_{- metro} b_{metro}$ $L_0^R = \frac{1}{24} + \sum\limits_{m=1}^{\infty} m b_{-m} b_m$
2. Si el fermión es antiperiódico a lo largo de la dirección angular en el plano (esta es la condición de Neveu-Schwarz), entonces (aquí la suma corre sobre semienteros $r$ ) $L_{0}^{norte S} = - \frac{1}{48} + \sum_{r = 1 / 2}^{\infty} r b_{- r} b_{r}$ $L_0^{NS} = -\frac{1}{48} + \sum\limits_{r=1/2}^{\infty} r b_{-r} b_r$
La segunda periodicidad que tienes que elegir es la periodicidad "temporal" (desde el punto de vista de la hoja del mundo), o dirección radial en el plano. Esto se impone por la forma en que toma el rastro, denotado por $\mathrm{tr}_P$ o $\mathrm{tr}_A$ en las notas de Ginsparg, y se reduce a agregar un $(-1)^F$ para condiciones periódicas, y nada para condiciones antiperiódicas.

Ahora puede calcular, digamos, la función de partición en el toro con condiciones antiperiódicas en las dos direcciones, como en (7.13a). Así que no necesitas $(-1)^F$ , y tienes que usar $L_0^{NS}$ . Esto da

t r q^{L_{0}^{norte S}} = q^{- 1 / 48} \prod_{r = 1 / 2}^{\infty} \sum_{{norte}_{r} \in {0, 1}} q^{r {norte}_{r}} = q^{- 1 / 48} \prod_{r = 1 / 2}^{\infty} (1 + q^{r}) = \frac{θ_{3}^{4}}{η} .

$\mathrm{tr} \, q^{L_0^{NS}} = q^{-1/48} \prod\limits_{r=1/2}^{\infty} \sum\limits_{N_r \in \{0,1\}} q^{rN_r} = q^{-1/48} \prod\limits_{r=1/2}^{\infty} (1+q^r) = \frac{\theta_3^4}{\eta} \, .$

Gracias, estoy de acuerdo. Mi rompecabezas inicial es que la expansión del modo de $\psi$ , que es también la definición de $b_m$ 's, no puede satisfacer la condición de contorno en la dirección temporal. Ahora me doy cuenta de que esta es una expansión de modo para un cilindro infinito , y la condición antiperiódica/periódica a lo largo de la dirección temporal se realiza tomando la traza (o la traza con (-)^F) en una porción finita de ese cilindro. En resumen, la idea no es encontrar directamente los modos propios del núcleo del campo de fermiones que es (anti)-periódico en ambas direcciones. Aunque creo que es posible hacerlo de esa manera.

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