Reglas de Feynman para dos campos diferentes que interactúan

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Reglas de Feynman para dos campos diferentes que interactúan

Física
Feynman-diagramas
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
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charlie

Actualmente estoy estudiando cómo deducir reglas de Feynman para teorías generales, y he logrado deducirlas para $\phi^3$ y $\phi^4$ teorías Hasta este punto, he considerado el mismo campo para todos los casos y he deducido las reglas de Feynman expandiendo el término que interactúa en el correlacionador y usando el teorema de Wick para hacer las contracciones.

Mi pregunta es, si consideramos una teoría que interactúa para dos campos diferentes, ¿cómo podríamos deducir las reglas de Feynman del teorema de Wick? Considere, por ejemplo, la descomposición de una partícula dada por el término lagrangiano que interactúa

L_{i norte t} = - λ Φ ϕ^{2}

$L_\mathrm{int}=-\lambda\Phi\phi^2$

Vemos directamente que solo tiene vértices con 3 líneas. Si desarrollo la exponencial que suele salir de esto:

Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2}) = 1 + (i λ) \int d^{4} y Φ_{y} ϕ_{y}^{3} + (i λ)^{2} \int d^{4} y_{1} d^{4} y_{4} Φ_{y 1} ϕ_{y 1}^{3} Φ_{y 2} ϕ_{y 2}^{3} + . . .

$\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)=1+(i\lambda)\int d^4y\Phi_y\phi_y^3+(i\lambda)^2\int d^4y_1d^4y_4\ \Phi_{y1}\phi_{y1}^3\Phi_{y2}\phi_{y2}^3+...$

Sin embargo, no estoy seguro de qué términos debo escribir para los correlacionadores. Para simplificar, consideremos el correlacionador de 2 partículas:

⟨ Ω | T [ϕ_{1} ϕ_{2}] | Ω ⟩ = \underset{T \to \infty}{límite} \frac{⟨ 0 | T [ϕ_{1} ϕ_{2} Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2})] | 0 ⟩}{⟨ 0 | Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2}) | 0 ⟩}

$\langle \Omega |T[\phi_1\phi_2]|\Omega\rangle=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{\langle 0 |T[\phi_1\phi_2 \exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)]|0\rangle}{\langle 0 |\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2)|0\rangle}$

Centrémonos en el numerador, que podría ser:

norte (X_{1}, X_{2}) = ⟨ 0 | ϕ_{X 1} ϕ_{X 2} Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \phi_{x1}\phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

O podría ser:

norte (X_{1}, X_{2}) = ⟨ 0 | ϕ_{X 1} Φ_{X 2} Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \phi_{x1}\Phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

O incluso podría ser:

norte (X_{1}, X_{2}) = ⟨ 0 | Φ_{X 1} Φ_{X 2} Exp (- i λ \int d^{4} y Φ ϕ^{2}) | 0 ⟩

$N(x_1,x_2)=\langle 0 | \Phi_{x1}\Phi_{x2}\exp(-i\lambda\int d^4y\ \Phi\phi^2) | 0 \rangle$

¿Cuál debo considerar para la expansión?

Profesor Legolasov

Es útil pensar en sus campos como elementos de un multiplete escalar (un vector de columna 2d). Entonces, lo que obtienes es solo la teoría cúbica normal pero con los términos de masa e interacción reemplazados por matrices. Esa fue una pista. La respuesta ya ha sido publicada por Accidental.

charlie

De hecho, es una idea interesante, y cuando los veo así, entiendo las relaciones de la teoría cúbica. Estoy tratando de trabajar también desde este enfoque.

Respuestas (1)

Reglas de Feynman para dos campos diferentes que interactúan

Es útil pensar en sus campos como elementos de un multiplete escalar (un vector de columna 2d). Entonces, lo que obtienes es solo la teoría cúbica normal pero con los términos de masa e interacción reemplazados por matrices. Esa fue una pista. La respuesta ya ha sido publicada por Accidental.
De hecho, es una idea interesante, y cuando los veo así, entiendo las relaciones de la teoría cúbica. Estoy tratando de trabajar también desde este enfoque.

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

Las tres expresiones son correctas, pero representan objetos diferentes. El primero representa (el numerador de) la función de correlación

⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}), ϕ (X_{2})} | 0 ⟩,

$\langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{red}{\phi}(x_2)\}|0\rangle,$ el segundo (el numerador de) la función de correlación

⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}), Φ (X_{2})} | 0 ⟩,

$\langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{blue}{\Phi}(x_2)\}|0\rangle,$ y el tercero (el numerador de) la función de correlación

⟨ 0 | T {Φ (X_{1}), Φ (X_{2})} | 0 ⟩ .

$\langle0|\mathrm T\{\color{blue}{\Phi}(x_1),\color{blue}\Phi(x_2)\}|0\rangle.$

Estas tres funciones de correlación son significativas. En la teoría de la perturbación, y como se indica en el OP, estos tres objetos vienen dados por

\begin{aligned} ⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}), ϕ (X_{2})} | 0 ⟩ & = ⟨ \hat{0} | T {\hat{ϕ} (X_{1}), \hat{ϕ} (X_{2}), Exp [i \int L_{i norte t} (\hat{ϕ}, \hat{Φ})]} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}), Φ (X_{2})} | 0 ⟩ & = ⟨ \hat{0} | T {\hat{ϕ} (X_{1}), \hat{Φ} (X_{2}), Exp [i \int L_{i norte t} (\hat{ϕ}, \hat{Φ})]} | \hat{0} ⟩ \\ ⟨ 0 | T {Φ (X_{1}), Φ (X_{2})} | 0 ⟩ & = ⟨ \hat{0} | T {\hat{Φ} (X_{1}), \hat{Φ} (X_{2}), Exp [i \int L_{i norte t} (\hat{ϕ}, \hat{Φ})]} | \hat{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{aligned} \langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{red}{\phi}(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{red}{\hat\phi}(x_1),\color{red}{\hat\phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|0\rangle\\ \langle0|\mathrm T\{\color{red}{\phi}(x_1),\color{blue}{\Phi}(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{red}{\hat\phi}(x_1),\color{blue}{\hat\Phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|\hat0\rangle\\ \langle0|\mathrm T\{\color{blue}{\Phi}(x_1),\color{blue}\Phi(x_2)\}|0\rangle&=\langle\hat0|\mathrm T\{\color{blue}{\hat\Phi}(x_1),\color{blue}{\hat\Phi}(x_2),\exp\left[ i\int L_{\mathrm{int}}(\color{red}{\hat\phi},\color{blue}{\hat\Phi})\right]\}|\hat0\rangle \end{aligned}$ donde un sombrero representa un operador de imagen de interacción,

\hat{ψ} := U ψ U^{†}

$\hat\psi:=U\psi U^\dagger$ , con

ψ \in {ϕ, Φ}

$\psi\in\{\color{red}{\phi},\color{blue}\Phi\}$ y

| \hat{0} ⟩ = U | 0 ⟩

$|\hat0\rangle=U|0\rangle$ , y los objetos sin sombrero están en la imagen de Heisenberg (cf. esta publicación de PSE ). (Estoy descuidando los denominadores para mantener la notación lo más simple posible; no juegan un papel importante aquí).

Ya veo, entonces todos son correctos pero representan objetos diferentes (no te preocupes por el denominador, sé que al final solo cancela las llamadas burbujas de vacío). Desarrollé los tres objetos, pero no estoy seguro de cómo deducir o representar las reglas de Feynman a partir de ellos, ya que estoy contratando dos campos diferentes. Por ejemplo, el correlador de $\phi_{x1},\Phi_{x_2}$ , si tomo el segundo orden (para que todos los campos se contraigan como distintos de cero), tenemos: $-i\lambda\int d^4y_1 d^4y_2\langle 0 |\phi_{x1}\Phi_{x2}\Phi_{y1}\phi_{y1}\phi_{y1}\Phi_{y2}\phi_{y2}\phi_{y2}+...|0\rangle$ .
La primera contracción no trivial sería (estoy representando contracciones con superíndices): $\phi_{x1}^a\Phi_{x2}^c\Phi_{y1}^a\phi_{y1}^b\phi_{y1}^b\Phi_{y2}^c\phi_{y2}^d\phi_{y2}^d$ . Esto significa que, en notación de Feynman, hay una línea que une $x_1$ a $y_1$ , y un bucle en ese mismo punto; lo mismo sucede para $x_2$ , que conecta con $y_2$ , y un bucle en ese mismo punto. Sin embargo, ¿cómo puedo diferenciar entre campos? ¿Debo introducir una figura diferente para cada vértice?
Creo que es importante usar una notación consistente. es mejor usar $\phi,\Phi$ para los campos de Heisenberg, y $\hat\phi,\hat\Phi$ para campos de imagen de interacción. En particular, las contracciones se refieren a estos últimos, no a los primeros. Dicho esto, uno tiene $\overline{\hat\phi\hat\phi}=\Delta_\phi$ , $\overline{\hat\Phi\hat\Phi}=\Delta_\Phi$ , y $\overline{\hat\phi\hat\Phi}=0$ . Entonces solo contratas $\phi$ campos entre sí, y $\Phi$ campos entre sí. no contrates $\phi$ campos con $\Phi$ campos.
La notación estándar es usar líneas sólidas para $\overline{\hat\phi\hat\phi}=\Delta_\phi$ , y líneas discontinuas (o, digamos, onduladas) para $\overline{\hat\Phi\hat\Phi}=\Delta_\Phi$ . En tu teoría, cada vértice tiene dos líneas sólidas y una discontinua, porque $L_\mathrm{int}$ tiene dos factores de $\phi$ y un factor de $\Phi$ . (Tal vez encuentre útil esta publicación de PSE ).
Ya veo, entonces mi problema fue tratar de contratar diferentes campos entre sí. De hecho, esperaba que cada vértice tuviera dos líneas sólidas y una discontinua como mencionaste, pero ahora veo cómo deducirlo. Gracias, voy a intentar rehacer los correlacionadores con esto en mente y debería funcionar esta vez.

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charlie

Profesor Legolasov

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