Funciones de punto NNN truncadas

Es básicamente una cuestión de ser coherente con las definiciones/notación.

1. El$n$-función puntual, denotada por

   $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ viene dada por la suma de todos los diagramas de Feynman con$n$patas externas, y donde cada línea corresponde a un propagador, y cada vértice a un factor de vértice desnudo (por ejemplo,$ig$); ver ref.1, §6-1-1 para más detalles.

2. el conectado$n$-función puntual, denotada por

   $$G^{(n)}_c(x_1,\dots,x_n)$$ viene dada por la suma de todos los diagramas de Feynman conectados con$n$patas externas, y donde cada línea corresponde a un propagador, y cada vértice a un factor de vértice desnudo (por ejemplo,$ig$). Las funciones$G$y$G_c$están relacionados por $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\sum_{\cup I_\alpha=I}\prod_\alpha G^{(n)}_c(\{x_{I_\alpha}\})\tag{5-52}$$ dónde$I=(1,\dots,n)$. (Esta relación se expresa mucho más fácilmente en términos de funciones generadoras, cf.$Z(j)=\exp(Z_c(j))$; ver ref.1, §5-1-5 para más detalles).

3. el truncado$n$-función puntual, denotada por

   $$G^{(n)}_t(x_1,\dots,x_n)$$ viene dada por la suma de todos los diagramas de Feynman con$n$catetos externos, y donde cada línea corresponde a un propagador excepto los catetos externos (que no tienen factor), y cada vértice a un factor de vértice desnudo (p. ej.,$ig$). Las funciones$G$y$G_t$están relacionados por $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$

   De manera similar, se puede definir el truncado y conectado$n$función de punto:

   $$G_c^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_{c,t}(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$ cuyo significado esquemático debe ser claro.

4. Hay otra noción de truncado$n$-función de punto, que no encuentro útil, que lee

   $$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int G^{(2)}\cdots G^{(2)}(x_n,y_n) \tilde G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n\tag{6-70}$$ con la función completa de dos puntos$G^{(2)}$en lugar del propagador$\Delta$. El uso principal para truncado$n$-punto funciones es que se pueden introducir directamente en la fórmula LSZ; pero como en este último estamos tomando$p^2\to m^2$, y en este límite tenemos$G^{(2)}\to \Delta$, no hay diferencia: cualquiera de los dos funciona bien al calcular$S$-elementos de la matriz. Desde un punto de vista conceptual, la función$G_t$como se definió anteriormente parece mucho más natural que$\tilde G_t$, pero el lector debe notar que ambas nociones se utilizan en la literatura.

5. El correcto$n$-función puntual, denotada por

   $$\Gamma^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ está dado por la suma de todos los diagramas de Feynman irreducibles de una partícula con$n$piernas externas, y donde cada línea corresponde a una función completa de dos puntos$G^{(2)}=G^{(2)}_c$ a excepción de los catetos externos (que no tienen factor), y cada vértice a un factor de vértice completo. Las funciones$G_c$y$\Gamma$están relacionados por $$G_c^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int G^{(2)}(x_1,y_1)\cdots G^{(2)}(x_n,y_n) \Gamma^{(n)}(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n+\cdots$$ dónde$+\cdots$corresponde a términos de orden inferior (con$\Gamma^{(n-1)},\Gamma^{(n-2)},\dots$). (La relación se expresa mucho más fácilmente en términos de funciones generadoras, cf.$Z_c(j)$y$\Gamma(j)$son Legendre-dual; ver ref.1, §6-2-2 para más detalles).

Cabe mencionar que todas las relaciones entre pares de funciones$G,G'$escrito arriba son invertibles, por lo que uno puede expresar, digamos,$G_c$como una función de$G$y viceversa. Pero este "inverso" debe entenderse en el sentido funcional, por ejemplo,

$$\int A(x,y)A^{-1}(y,z)\ \mathrm dy\equiv \delta(x,z)$$

Esto significa que, por ejemplo, la inversa de

$$G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\int\Delta(x_1,y_1)\cdots \Delta(x_n,y_n) G^{(n)}_t(y_1,\dots,y_n)\ \mathrm dy_1\cdots\mathrm dy_n$$ es $$G_t^{(n)}(x_1,\dots,x_n)=\mathscr D_{x_1}\cdots \mathscr D_{x_n} G^{(n)}(x_1,\dots,x_n)$$ dónde $\mathscr D_x\Delta(x,y)\equiv \delta(x,y)$(signos de módulo que no me importan aquí).

En el espacio de momento, las circunvoluciones se convierten en multiplicaciones estándar (cf. esta publicación de PSE ) y, por lo tanto, el inverso funcional es básicamente el inverso algebraico. Por lo tanto, las relaciones anteriores se convierten en

$$\begin{aligned} G^{(n)}(p_1,\dots,p_n)&=\Delta(p_1)\cdots \Delta(p_n) G^{(n)}_t(p_1,\dots,p_n)\\ G_t^{(n)}(p_1,\dots,p_n)&=\Delta(p_1)^{-1}\cdots \Delta(p_n)^{-1} G^{(n)}_t(p_1,\dots,p_n) \end{aligned}$$ como en el OP (o reemplazar $\Delta\to G^{(2)}$si quieres usar $\tilde G_t$en lugar de $G_t$).

Tenga en cuenta que todas estas definiciones funcionan para teorías en las que los campos pueden tener cualquier espín o paridad de Grassmann; si el campo no es escalar, uno simplemente introduce más índices aquí y allá, y si es impar de Grassmann, faltan algunos signos que he descuidado. Completar los detalles se deja al lector.

Referencias.

1. Itzykson & Zuber - Teoría cuántica de campos .