Contracción de la mecha

Estoy leyendo Teoría cuántica de campos en pocas palabras de A. Zee.

Zee presenta la lógica/maquinaria detrás de los diagramas de Feynman en tres pasos: Bebé -> Niño -> "Real".

El problema del bebé genera diagramas al expandir la siguiente integral unidimensional a una serie doble con respecto a$e^{- \frac{\lambda}{4!}q^4}$y$e^{Jq}$:

$$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} dq e^{-\frac{1}{2}m^2q^2 - \frac{\lambda}{4!}q^4+Jq}$$
Hasta ahora, todo bien.

El problema del niño promueve la integral anterior en una integral múltiple con las "sustituciones"$m^2 \to A$($n \times n$matriz simétrica) y$J,q$a$n$vectores:

$$Z(J) = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \ldots \int_{- \infty}^{\infty} dq_1 dq_1 \ldots dq_n e^{-\frac{1}{2} q \cdot A \cdot q - \frac{\lambda}{4!} \sum_{i=1}^{n}q_i^4 +J \cdot q}=$$ $$= Z(0,0) \sum_{s=0}^{\infty} \sum_{i_1=1}^{n} \ldots \sum_{i_s=1}^{n} \frac{1}{s!} J_{i_1} \ldots J_{i_s} G^{(s)}_{i_1 \ldots i_s}$$

Para$s=2$Me las arreglo para obtener la respuesta correcta (Porque no hay posibilidad de permutaciones..).
para$s=4$No entiendo de dónde viene la suma de las permutaciones, así que vuelvo al apéndice.
Para hacer las cosas lo más simples posible, elijo$n=4$y obtener:

$$\langle x_1 x_2 \rangle = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} x_1 x_2}{\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 e ^{-\frac{1}{2} x \cdot A \cdot x} } = A_{12}^{-1}$$

Pero cuando trato de hacer$\langle x_1 x_2 x_3 x_4\rangle$, solo obtengo$A_{12}^{-1} A_{34}^{-1}$, y no una suma de permutaciones. Obtengo esto aplicando$\frac{d^4}{dJ_4 dJ_3 dJ_2 dJ_1}$en$e^{\frac{1}{2} J \cdot A^{-1} \cdot J}$(Esta es la solución de la gaussiana 4-d con el extra$J \cdot x$término en la exponencial) y luego estableciendo$J=0$.

Debo haber entendido mal las instrucciones: "Diferenciar$p$veces con respecto a$J_i, J_j, \ldots , J_k,$y$J_l$, y luego establecer$J=0$."

Dígame si a mi pregunta le faltan algunos detalles que puedan arrojar luz sobre lo que estoy haciendo mal (o lo que no entiendo)...