¿Extendiendo la relatividad general con variedades de Kahler?

Las variedades de Kähler no son una extensión de las variedades de Riemann. Por el contrario, son una restricción: todo Kähler es riemanniano, pero lo contrario ciertamente no es el caso.

En realidad, ser Kähler incluso impone algunas restricciones topológicas muy estrictas sobre la variedad (como que todos los grupos de cohomología de rango de Rham pares sean distintos de cero), mientras que a cualquier variedad diferenciable se le puede dar una estructura de Riemann.

Una variedad de Kahler es esencialmente una variedad compleja con una métrica que se puede escribir como,

dónde$\mathcal{K}$se denota el potencial de Kahler. La forma de$g_{ij}$asegura que la forma de Kahler (que es una opción natural para una forma de volumen) esté cerrada. Las variedades de Kahler son un tipo específico de variedad de Riemann y, por lo tanto, no son extensiones del concepto de variedad de Riemann. Como tal, si quisiéramos realizar la relatividad general en una variedad de Kahler, no sería necesario modificar las ecuaciones de campo,$^{\dagger}$

Creo que no es sensato tomar una variedad de espacio-tiempo como una variedad compleja, ya que en realidad estamos 'viviendo' en verdaderas variedades pseudo-Riemannianas. Sin embargo, a veces es conveniente utilizar coordenadas complejas. Por ejemplo, en la teoría de cuerdas, definimos nuevas coordenadas complejas de hojas de palabras,

que son análogos euclidianos de las coordenadas del cono de luz. Si consideramos$z$y$\bar{z}$como variables independientes separadas, entonces vamos de$\mathbb{R}^2$a$\mathbb{C}^2$. Sin embargo, al final, debemos tener en cuenta que estamos en el segmento real, que es un subconjunto, es decir$\mathbb{R^2}\subset \mathbb{C}^2$. Supongo que se podría aplicar un procedimiento similar a una solución de las ecuaciones de campo de Einstein, y en ese sentido estamos, de alguna manera, extendiéndonos temporalmente a una variedad compleja.

$\dagger$En unidades donde$c=G=1$.

Hace años me encontré con un libro de segunda mano (Springer apuntes de física 46) llamado "Geometría hermitiana y kähleriana en la relatividad" de EJ Flaherty. Lo compré, y aunque nunca lo leí, creo que responde a su pregunta hasta cierto punto. Ojeando el texto, parece que se establece lo siguiente: el espacio-tiempo (que tiene una métrica de la firma de Lorentz) no admite una estructura casi hermítica, en particular no admite una estructura kähleriana, pero el autor propone una modificación mediante una transformación de Lorentz compleja que da lugar a una estructura hermitiana valorada compleja que se comporta formalmente como una estructura hermitiana ordinaria y es compatible con la métrica. Esto permite una adaptación de algunos resultados en la geometría de Kähler a lo que él llamaEspaciotiempos de Kähler .