¿La diferencia entre The Dilaton y The Radion?

Dilaton es el nombre genérico del bosón de Goldstone (GB) asociado con la ruptura espontánea de la invariancia de escala. Cualquier modelo que rompa la invariancia de escala espontáneamente dará lugar a un dilatón. N = 4 SYM, por ejemplo, tiene un espacio de módulos y cualquier módulo que se aleje del origen romperá la invariancia conforme y aparecerá un dilatón sin masa. El Radion es solo la realización holográfica 5D de un CFT 4D que rompe la simetría conforme espontáneamente.

Como para cualquier GB, el dilaton$\sigma(x)$proporciona una realización no lineal de la invariancia de escala$x\rightarrow x^\prime=x/\lambda$,

$$\sigma(x)\rightarrow \sigma^\prime(x)= \sigma(\lambda x)+\log\lambda$$ donde se lee el lagrangiano efectivo
$$L=\frac{f^2}{2}(\partial\chi)^2- k f^4\chi^4+\frac{(\partial\chi)^4}{\chi^4}+\ldots$$ con $f$es el análogo de la constante de decaimiento del pión y $\chi$es solo una abreviatura de $\chi=e^{\sigma}$. Ya que $\chi$se transforma como un campo con dimensión $\Delta=1$, $$\chi(x)\rightarrow \lambda\, \chi(\lambda x)$$ la acción $\int d^4 x L$se deja invariable bajo la transformación de escala. En la práctica, cualquier término con dimensión 4 en el lagrangiano debe escribirse. La única diferencia con respecto a un GB ordinario es que la simetría es una simetría de espacio-tiempo, por lo que también actúa sobre $x$. Expresiones análogas valen para el grupo conforme completo tang simplemente prohíbe ciertos operadores que están permitidos solo por la invariancia de escala. Tenga en cuenta que, en principio, se permite un potencial cuártico puro (aunque requeriría un espacio curvo para que no desaparezcan\ldots)

Pasemos ahora al radión que surge en la teoría extradimensional. Para mostrar que es solo una realización especial de un dilatón de dimensiones extra, derivamos su acción efectiva y sus coincidencias con las del dilatón. Tomemos el modelo Randall Sundrum que es una porción del espacio 5D AdS

$$ds^2=\frac{L^2}{z^2}\left(dx^2_4-dz^2\right)$$ entre una brana UV y una brana IR en $x=z_{UV}$y $z_{IR}$respectivamente. $L$es la curvatura de AdS. Por supuesto, una de las isometrías de AdS es $$x\rightarrow x/\lambda\,,\qquad z\rightarrow z/\lambda$$ que se rompe suavemente, por ejemplo, por la brana IR que se mueve $z_{IR}\rightarrow z_{IR}/\lambda$. Hay varias formas de obtener la acción efectiva para el radión. Una posibilidad sería observar las perturbaciones métricas y desentrañar el espín 2 (gravitón) del espín 0 (radion), ya que ambos tienen modos cero. Pero, en realidad, una forma más rápida e intuitiva es recordar que se supone que el radión da el tamaño de la extraD. De hecho, es claro que $z^{-1}_{IR}$que rompe la isometría de escala tiene que ser identificado con el vev de $\chi$. Por lo tanto, podemos integrar la mayor parte de la dimensión extra pero dejando que la brana IR se mueva y doble libremente, de modo que termine con una acción 4D efectiva para $z_{IR}$ $$L=-\frac{1}{M_*^3}\int_{z_{IR}}^{z_{UV}} dz \sqrt{|g|} R+\mbox{boundary terms}$$ donde los términos de frontera contienen las acciones localizadas sobre las branas y el término de Gibbons-hawking. La acción resultante es exactamente la de un dilaton hasta identificar $\chi\sim z^{-1}_{IR}$. Por ejemplo, los términos a granel y de frontera dan lugar a un potencial cuártico exacto (después de usar los eom a granel que vinculan el 5D cc $\Lambda _5$a la curvatura 5D $L$, y la masa de Planck 5D $M_*$) $$V=k z_{IR}^{-4}\qquad k\propto\Lambda_{5}L-V_{IR}$$ ese es de hecho el único potencial no trivial que puede admitir una teoría invariante de escala. Si el espacio 4D es realmente plano, entonces resulta $k=0$ajustando constantemente la constante cosmológica a granel $\Lambda_5$y el potencial IR localizado sea el mismo. De esta forma el radión tiene una dirección plana ya que el potencial se desvanece. Análogamente, los términos derivados también están dictados por la invariancia de escala y reproducen la acción del dilatón. Nuevamente, esto no es sorprendente ya que la isometría que hemos estado viendo arriba es el dual 5D de una transformación de escala. En esta dualidad calibre/gravedad, la brana IR representa una vev de un operador de muy alta dimensión. Mover la brana IR, es decir, cambiar la escala del vev, es lo que hace una excitación de dilatón/radión.